確立の問題で困っています。

質問

252個の升に30個のボールをランダムに投げたとき、升にボールが2個以上入る確立は？また、3個以上入る確立、4個以上入る確立は？それぞれ求めよ。ただし、ボールは必ずどれかの升に入るものとする

回答No.2

UKY · ベストアンサー

「升にボールが2個以上入る」は「どの升にも2つ以上のボールが入らない」の余事象なので、そこから考えます。
全ての場合の数は、252の30乗。
（↑252個の升のどれかにボールが入り、それが30回繰り返されるからです。）
どの升にも2つ以上のボールが入らない場合の数は、252P30。
（↑これは、252個の升から、ダブらずに30個を選び出すからです。）

ということで、升にボールが2個以上入る確率は
1 - (252P30 ÷ (252の30乗)) = 約0.834335427

……という風になると思ったのですが、これだと「3個以上」「4個以上」の考え方が分からないし、「2個以上」でさえ計算が死ぬほど大変ですね。
ということで、私のヘボ回答は余りお役に立てなかったようですが、早く回答が欲しいということで、とりあえず。

お礼

UKYさん

早々に回答していただきましてありがとうございます。
大変助かりました。

ほんとうにありがとうございます。

回答No.5

yacob

恥をかいたこと忘れて再度登場します。
出かけますので、時間が無いため提案のみ致します。kanko111様、ご覧の皆様ご検討ください。

n個の枡にr個のボールを重複無く入れる場合の数は、nCr 通りあります。一方n個の枡に、r個のボールを重複を許して入れる場合の数は、r+n-1Cr 通りあります。これらから、1つの枡に2個以上入る確率(P2)は、
P2=1-(nCr/n+r-1Cr)
となります。これは当然No/2UKYさんの回答と合うはずです。

さて、3個以上の時としては、n個のますのうちr-1個の枡を選ぶ組み合わせ、nCr-1 を r+-1Cr との割合で、
P3=1-(nCr-1/n+r-1Cr)
としては如何でしょうか。

お礼

yacobさん

時間がないところを検討（奮闘？）して頂いてありがとうございました。
２個以上の回答については、ukyさんの回答どおり0.83で正解でした。
ほんとうにありがとうございました。

回答No.4

kony0

#2のUKYさんの回答と一緒で、３個以上入る確率を求めるのってすごく難しいんですよねぇ。たぶんExcelで表計算か、プログラミングで配列変数かを用いて解かないとできないのではないでしょうか？筆記試験の問題とは思えません。（計算のバカデカさから言っても^^;）

では、唐突に回答。ただし「３個以上」バージョンだけ。

a個のボールを投げたときに、「どの升にも３個以上は入っていなく、かつ２個入っている升がちょうどb個ある」という確率をP(a,b)とする。

まず、すぐにわかる初期条件として、
P(a,0)=252Pa / 252^a
P(0,0)=P(1,0)=1
P(0,b)=P(1,b)=0 for all b>=1
P(2,1)=1/252, P(2,0)=251/252, P(2,b)=0 for all b>=2

漸化式として、
P(a,b)=P(a-1,b)*(253-a+b)/252 + P(a-1,b-1)*(a-2b+1)/252
（実際に必要な初期条件は、P(a,0)=252Pa/252^a, P(0,b)=0 for b>=1のみとなります）

これをPCかなにかで数値的に解くとして、「３個以上入る確率」は、1-Σ(b=0,1,...,15)P(30,b)=約0.0577434（b>15では明らかにP(30,b)=0です）

このような漸化式の解法をとったのは、「ボールを１つずつ投げ入れていく状況」を思い浮かべたものです。
漸化式の式の意味は、以下のとおり。
P(a,b)とは、a個投げたときに、「２個入っている升がb個、１個入っている升がa-2b個、残りの252-a+b個の升にはボールが入っていない」という確率で、「どの升にも高々２個しか入っていない」という現象を「でも２個入っている升の個数によって、次の（a+1個目のボールの）入れ方が違う」ので場合分けしたものです。ちなみに、「高々２個しか入っていない」というのを考えたのは、余事象を捉えるという趣旨です。
さて、P(a,b)を考えるには、「すでにa-1個のボールを投げていて、いまからa個目のボールを投げますよ」という状況を思い浮かべてください。このボールの行き先として、まず当然に、すでに２個入っている升には投げ入れることはできない。（いま余事象を考えてますから）
じゃあ、ボールの入っていない升かボールが１個だけ入っている升を狙うことになりますが、
・ボールの入っていない升を狙うのは、「２個入っている升がb個ある状況」のとき（確率P(a-1,b)）で、このとき、a個目のボールを入れるべき空の升は252-b-(a-1-2b)=253-a+b個ある。252個の升のうち、これだけの升を狙って入る確率を考える。
・ボールの１個入っている升を狙うのは、「２個入っている升がb-1個ある状況」のとき（確率P(a-1,b-1)）で、このとき、a個目のボールを入れるべき「１つだけ入っている升」はa-1-2b個ある。
というものです。

同じような考えで、４個以上入る確率も求められるとは思いますが、３次元配列になって面倒なのでやめ。(^^;)

お礼

kony0さん

回答ありがとうございました。

考え方まで詳細に記述していただき、感謝・感謝です。
ほんとうにありがとうございました。

回答No.3

yacob

No.1のyacobです。
大変申し訳ありません。間違った解答をしたようです。どうぞ、No.1の回答は、ご覧にならないで下さい。No.2のUKYさんの考え方でよいと思います。
なお、ご存知でしょうが、階乗(!)の計算には、スターリングの公式が使えますが、幸にして、下記URLで、細かい数値を得ることが出来ます。ご参考まで。
恥ずかしいことで、どうかお許しください。

参考URL：

http://www.yin.or.jp/user/ushioku/hide/mathlib2/factoria.htm

回答No.1

yacob

１・2個入る場合
ボールは必ず枡には入りますから、始めの1個が入った枡に、残りの29個のボールの1つが入ればよいわけです。それには、組み合わせで、29Ｃ1 通りの場合が考えられます。(始めの1つ、2番目・始めの1つ、3番目、、、始めの1つ、30番目です)　これらの場合の1つずつの確率は、(1/252)×(251/252)^28 となりますから、これらを掛け合わせた数が、同じ枡に2つ入る確率(Ｐ2と表します)となります。すなわち
　　Ｐ2=29Ｃ1×(1/252)×(251/252)^28 =0.1029..
思ったより大きく出ましたので、心配です。検算を御願い致します。

2・3個入る場合　　
(また、以下は考え方のみ申し上げます。計算してください。)
同様に
　　Ｐ3=29Ｃ2×(1/252)^2×(251/252)^27
3・4個入る場合
　 Ｐ4=29Ｃ3×(1/252)^3×(251/252)^26