軌道が楕円になるのはなぜでしょうか？

質問

こんにちは
ふと疑問に思ったんですが、彗星や惑星の軌道が楕円になるの場合があるのは
どうしてなんでしょうか？
（ほぼ円の場合はのぞいてください）
たしか楕円というのは、中心点が2つあると算数でならったような気がします。
算数も天文学も詳しくないので、できれば小中学生レベルの説明でお願いします。
すいません。

回答No.4

nakaizu · ベストアンサー

小中学生にも分るような説明ということで、厳密な証明ではないですが、次のような説明でどうでしょうか。
地球上でボールを投げることにします。空気抵抗は無いものとします。
ボールを水平に投げるとやがて地面に落ちます。しかし、投げるスピードを速くするとより遠くまで届くようになります。
どんどんスピードを上げていくと、遂には地球を一周して元の場所へ戻ってきます。
このとき、ボールは地面すれすれを通っているので、その軌道は地球の中心を中心とする円になります。
ここまではよいでしょうか。
さて、スピードをもうすこしだけ上げます。するとボールは地面すれすれでなく上空高くまで上がっていきます。しかし、やがて下がってきて最終的には地球を一周して元の場所に戻ってきます。
このときのボールの軌道はどうなっているのでしょうか。
上空高く上がっているときは地球の中心からの距離が長くなっているので、地球の中心を中心とする円軌道ではありません。
また、地球の回りを回るのに、地球の中心以外を中心とする円軌道は不自然です。
実はこのときには円軌道ではなく、楕円軌道になっているのです。地球の中心は楕円軌道の焦点になっていますが、焦点の説明は小中学生には難しいので省略します。
しかしながら、円軌道にならない場合もあることは理解できるかと思います。

お礼

なるほど。なんとなくイメージはつかめました。ありがとうございます。

回答No.5

Scull

物体を放り投げたときに描かれる軌道が「放物線」なのはご存知だと思います。

それから、楕円軌道の「楕円」、そして「正円」。反比例のときに描かれる「双曲線」。これらはみんな「円錐曲線」という仲間なんです。

で、この円錐曲線のうち端が開いている、つまり、物体を投げて着地するまでの曲線が放物線（双曲線は二つの曲線ですので、一つの物体を放り投げただけでは描けません）。
端が閉じているもの、つまり、物体が着地しないものが楕円、または正円になるんですね。

難しい理屈を省略すれば、放り投げた物体の軌道は一般的に「円錐曲線の中のどれか（双曲線以外）」になるから。着地する「開いた軌道」は放物線、着地しない「閉じた軌道」は楕円か円。

お礼

放物線を描いて着地しないと、楕円みたいになるのは、
なんとなくわかりますが、でも円になる場合もある？んですか？
だんだん、ラジオで『夏休み子供電話相談』に出て、困った声になってきた
子供のような気分です（汗）。ありがとうございます。

回答No.3

mazeran

楕円が自然の形だからだと思うのですが・・・。

的外れであればごめんなさい。

私が思うに、たとえば三角形を書けと言われたら、普通は三辺とも長さの違う三角形になるでしょう。意図的に同じ長さにしたときに正三角形になるのと同じだと思います。
つまり、１周回り終わったときに、引力と遠心力が吊り合っている状態で、太陽の周りを回りなさいと言われたら、いきなり「円」にはならないと思います。「楕円」で回るのが自然なのではないでしょうか。

先ほどの三角形のときと同じで、たまたまもの凄い確率で、回る半径が常に同じになったときに「円」になり、それ以外では「楕円」が自然なのではないでしょうか。
そしてたまたま「抵抗」がほとんどないので、長い期間、ずっと楕円のままの状態を維持しているのだと思います。

お礼

なんとなく、理解できるような気がします。ありがとうございます。

回答No.2

tatsumi01

大学に入ってすぐ力学で習いました。

(1) ニュートンの運動方程式、(2) 働く力が引力のみ、(3) 引力が中心力（太陽と惑星の重心を結ぶ直線の方向で働く）で距離の２乗に反比例する
を仮定すると楕円軌道が出てきます。なお、円は楕円の特殊な場合で、一般には楕円です。

「どうして」の説明にはなりませんが、ベクトル解析を使って計算すると確かにそうなります。それ以上は微分方程式を知らないと正確に説明するのはムリです。

厳密に言うと、太陽と惑星の二つだけしか宇宙にない場合で、天体が三つ以上あると「三体問題」といって、解析的には解けません（数値計算では解けます）。さらに、太陽と惑星は質点といって、大きさがなく質量だけの点であるとしないと計算できません。ただし、大きさのある天体は質点と見なして良いことが証明できますので、質点として解くのが普通です。また、実際には太陽の周りを惑星が回っているわけではなく、見方によっては惑星の周りを太陽が回っているとも考えられます。実は、両者の共通重心の周りを太陽と惑星の両方が回っているのですが、太陽の質量の方が圧倒的に大きいので、太陽は静止していて惑星が回っていると考えても構わないのです。厳密な解も出すことができます。

なお、楕円の二つある中心みたいなものを「焦点」と呼びます。

お礼

不勉強なので、ご説明の一部しか理解できませんが、
太陽と惑星が共通の重心の周りを回っているというのは、面白いですね。
ありがとうございます。

回答No.1

php504

惑星の軌道は全て太陽を一つの焦点とする楕円軌道です
これを「ケプラーの第一法則」といいます。
なぜそうなるかはニュートンの万有引力の法則から導くことが出来るようです（というかケプラーの法則から万有引力の法則を考えた）

お礼

すべて楕円軌道なんですか。
知りませんでした。ありがとうございます。