ゾンマーフェルトの式

質問

ゾンマーフェルトの公式
∫［0,∞］D(ε)f(ε)dε　=　∫［0,μ］D(ε)dε+(π^2/6)(kT)^2*D'(μ)+・・・
からエネルギーＥについての展開式を導くと
∫［0,∞］εD(ε)f(ε)dε　=　∫［0,εF］εD(ε)dε+(π^2/6)(kT)^2*D'(εF)+・・・
となることを導きたいのですが、
そのとき、∫［εF,μ］εD(ε)という計算が出てくるのですが、
本来なら、∫［εF,μ］εD(ε)　=　(μ-εF)εF*D(εF)
となるらしいんですが、自分で計算すると、D(ε)の具体的な表式
D(ε)=Aε^(1/2)を使って計算したところ
∫［εF,μ］εD(ε)　=　(2/5)A｛μ^(5/2)-εF^(5/2)｝
となってしまい、(μ-εF)εF*D(εF)になりません。

ご教授願います。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

これは低温展開の式ですから，
μとε_F (F は下付)とは非常に近いのです
(T=0 では μ=ε_F)．
別の言い方をすれば，
α = μ-ε_F とすると，α << ε_F です．

こういうことを考慮して，
(1)　　∫［ε_F,μ］εD(ε) dε
の計算の時に，被積分関数が ε_F D(ε_F) という定数だと思って
積分の幅 ε_F-μ を単に掛けてしまったのが
(2)　　(μ-ε_F) ε_F*D(ε_F)
です．

osogard さんの計算からでしたら，
(3)　　(2/5)A｛μ^(5/2)-ε_F^(5/2)｝
の {　} 内第１項を
(4)　　(ε_F+α)^(5/2)
　　　　＝ ε_F^(2/5) [1 + α/ε_F]^(5/2)
　　　　≒ ε_F^(2/5) [1 + (5/2)(α/ε_F)]
とすれば，(2)が再現できます．

F_P_E さん：
> ついでですが、質問にあるエネルギーの場合の展開式は、
> 少々間違っているように思います。

私も同意見です．
もともと，この公式は，ε=μ 付近でおとなしい関数 g(ε) に対して
(5)　　∫［0,∞］g(ε)f(ε)dε
　　　=　∫［0,μ］g(ε)dε+(π^2/6)(kT)^2*g'(μ)+・・・
というものです．
g(ε) を状態密度 D(ε) としたのが質問の最初の式ですが，
エネルギーを求めるときは g(ε) = εD(ε) ですから，
右辺第２項は
(6)　　(π^2/6)(kT)^2*D'(εF)
じゃいけません(書き間違えた？)．

お礼

詳しく説明していただきありがとうございます。

エネルギーの展開式のことなのですが、
εD(ε)の微分なので項が２つでてくるのですが、
(π^2/6)(kT)^2*μD'(μ)と(μ-εF)*εF*D(εF)
がキャンセルして、(π^2/6)(kT)^2*D(μ)が残るとしました。

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

確かなことはいえませんが。。。一応、学んだことなので、回答したいとおもいます。

さて、問題の式

∫[εF,μ]dε εD(ε) = (μ-εF)*εF*D(εF)

ですが、これは近似式だったように思います。なぜ、近似したのかというと、一般のD(x)だからです。しかし、厳密に計算できる場合には近似する必要はないですよね。おそらく、εF(これはFermiエネルギーのことでしょうか)とμ（これは化学ポテンシャルでしょうか）との差が十分小さいという条件があるはずです。その条件があるなら、厳密に計算した場合と、近似式の値は大きくずれることはないでしょう。

ついでですが、質問にあるエネルギーの場合の展開式は、少々間違っているように思います。

お礼

回答ありがとうございます。
ノート見返したのですが、どうやらご指摘の通り近似のようです。

エネルギーの展開式のことなのですが、
εD(ε)の微分なので項が２つでてくるのですが、
(π^2/6)(kT)^2*μD'(μ)と(μ-εF)*εF*D(εF)
がキャンセルして、(π^2/6)(kT)^2*D(μ)が残るとしました。