空間のヘロンの公式？？

質問

三角形の３辺が分かっていれば、ヘロンの公式で面積が求まるように、６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられただけで四面体の体積(三角錐)を求められるということを知りました。調べたところ、下記のような式で表されるようです。（空間のヘロンの公式？）

　しかし、これを示す方法が分かりません。どうやって証明したら良いのか困っています。もしよろしければ教えていただければ幸いです(長ければ指針などでも有難いですm(_ _)m)

（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2)＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

計算で求める、一番わかりやすい方法は、やはり、ベクトルを使うことだと思います。平行六面体の体積は、よく知られているように、スカラー三重積ですね。
平行六面体の一つの頂点Ｐから出る３本の稜をベクトルでA,B,Cとしたとき、この平行六面体の体積Ｖは、
Ｖ＝A・(B×C)
となります。四面体の体積は図を描いてみればわかるように、Ｖ/6 です。このあとは,A,B,Cを六辺の長さa,b,c,d,e,fで表せばよいだけです。

別解として、グラム行列式（グラミアン）を使う方法もありますが、これも、同じことです。

お礼

なるほどわかりました！両方の解放納得できました！ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

edomin

ここの中間より少し下に「空間のヘロンの公式」の解説があります。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/320_tetra.htm

参考URL：

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/320_tetra.htm

お礼

早速見て自分でもやってみました！ありがとうございます！