三角形ＡＢＣにおいて、点ＨがＨＢ→・ＨＣ→＝ＨＣ→・ＨＡ→＝ＨＡ→・ＨＢ→

質問

三角形ＡＢＣにおいて、点ＨがＨＢ→・ＨＣ→＝ＨＣ→・ＨＡ→＝ＨＡ→・ＨＢ→をみたすとき、Ｈは三角形ＡＢＣのどんな点か。

この問題教えてください。

ＨＢ・ＨＣ＝ＨＣ・ＨＡより、ＨＣでわけてみました。
ＨＣ（ＨＢーＨＡ）＝０

このあとがわかりません＞＿＜

教科書の回答をみると
＜回答＞
ＨＣ→・ＡＢ→＝０
同様に、ＨＡ→・ＢＣ→＝０、ＨＢ→・ＡＣ→＝０
よって、Ｈは三角形ＡＢＣの垂心である。（答）

とかいてありました。
わからないのは、上の、ＨＣ・ＡＢ＝０の部分です。
どうしてＨＣ・ＡＢ＝０とわかるのですか？？
ＡＢはどこからでてきたのですか？

題意を読んでると垂心っぽいというのは想像つくのですけど、Ｈの位置が題意の何処をよんだら、はっきりするのですか？
仮にＨが三つの頂点から対辺に線が伸びた場所、つまり垂心の位置がＨとしたら、ＨＣ・ＡＢ＝０というのは
ベクトルの垂直の公式とみれるので＝０としきがなります。
同様に～と書かれてる部分も同じですけど、
どのへんで、垂心の位置にあると、判断できたのですか？？
ＨＣ（ＨＢ－ＨＡ）＝０とＨＣで分けてみましたけど、
ここがポイントですか？

誰かおしえてください。よろしくおねがいします＞＿＜

回答No.2

noname#20377 · ベストアンサー

AB = HB - HAだよね？
わかりづらかったらこうかけばわかるかな？(図に描いてみてね)
HA + AB = HB

だから

ＨＣ（ＨＢーＨＡ）＝０から
ＨＣ・ＡＢ＝０とできる。

左辺の内積はHCとABの作る角をθ(0<θ<π)とすると
|HC||AB|cosθ=0

HCもABも0じゃないから
cosθ=0とならざるをえない
だからθ=90°なんだ。

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！
数学の世界は面白いです！！ありがとうございました♪

回答No.1

debut

(ＨＢ→－ＨＡ→)はＡＢ→になります。ベクトルの最初の方でやった
ベクトルの差ですね。他も同様です。
だから、ＨＣ→・(ＨＢ→－ＨＡ→)＝ＨＣ→・ＡＢ→＝０です。
このことから、ＨＣ→とＡＢ→が垂直、つまり直線ＣＨはＡＢと垂直。
他も同様です。

お礼

いつも返事書いていただいて本当にどうもありがとうございます！！もっともっと勉強して頑張ります！！
本当にどうもありがとうございました！！！！