二重帰納法の計算

質問

Σ[k=1→n]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)
＝n(n+1)(n+2)(n+3)・・・・(n+L+1)/(L+2)

この式を帰納法で証明するんですけど、
１，n=a+1,L=b
２，n=a,L=b+1
の時を仮定して
３，n=a+1,L=b+1の時に成り立つ。
とやるのかな？？と思ってるんですけど、

計算がうまくできなくて(証明の計算)悩んでいるんですよ～。
よかったらヒントをください。

↓計算した結果

１，Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
＝(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)

２，Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
＝a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)

３，Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
＝(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)

回答No.3

postro · ベストアンサー

＞↓計算した結果
＞１，Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
＞＝(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)
＞２，Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
＞＝a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)
＞３，Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
＞＝(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
↑３がちょっと違います。修正しておきました。

n=a ,L=1 のとき　・・・ア
左辺=a(a+1)(2a+1)/6 + a(a+1)/2=a(a+1)(a+2)/3
右辺=a(a+1)(a+2)/3
で成り立つ
n=1 ,L=b のとき　・・・イ
左辺=(b+1)！
右辺=(b+2)！/(b+2)=(b+1)！
で成り立つ
n=a+1 ,L=b のとき成り立つと仮定すると　・・・アア
＞１，Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
＞＝(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)　　・・・アアア
n=a ,L=b+1 のとき成り立つと仮定すると　・・・イイ
＞２，Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
＞＝a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)　　・・・イイイ
ここで　Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)　を考える
Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=イイイ + (a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(b+3)/(b+3)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
よってn=a+1,L=b+1の時に成り立つ。
感想ですが、この証明にアアアの結果は使っていない。
使わなくても証明できるということは、やはり「二重帰納法」なんて必要がなかったってことじゃないですかね？

お礼

>３がちょっと違います。修正しておきました。
あ～～そんなところを間違うとは・・・

良い感じになってますねぇ～～♪
う～～ん・・・何でヤツは二重帰納法って言ったんだろう・・・

まぁ、そんな感じに書いておけばたぶん何とかなりますよね？

回答ありがとうございました。

回答No.2

postro

＞nを固定したときに、
＞L=bで成り立つと仮定すると
＞L=b+1のときでも成り立ちますよね？
↑この証明を考えてみたけれど、難しすぎてわかりませんでした。
＃１の解答でも任意の自然数Lで成り立つことを言っているのだから、これで十分な気がしますが、どうなんでしょう？
お役に立てませんでした。

回答No.1

postro

普通の帰納法でいけそうですよ。
n=1 のとき
左辺=(L+1)！
右辺=(L+2)！/(L+2)=(L+1)！
で成り立つ
n=a のとき成り立つと仮定すると
Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)＝a(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)/(L+2)　　・・・＃
n=a+1 のときを考えると（＃の結果を用いて）
Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)
＝a(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)/(L+2) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)
＝a(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)/(L+2) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)(L+2)/(L+2)
＝(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1){(a+(L+2)}/(L+2)
よって　n=a+1　で成り立つ。

お礼

お～～！！
だけど、先生が二重帰納法で。
って言ってたので、使った方が良いと思うんですけど・・・
どうですかねぇ？

回答ありがとうございました

補足

nを固定したときに、
L=bで成り立つと仮定すると
L=b+1のときでも成り立ちますよね？
このときの計算のヒントをお願いします