導体球の問題

質問

導体の空洞内に荷電導体球がおいてあるときを考えます。
導体球の電荷分布が一様になるのは、空洞の形が同心球
のときだけなんでしょうか？

回答No.2

Umada · ベストアンサー

検討してみましたが、結論はやはり「空洞が同心球である場合のみ」です。

いま導体内に空洞Vがあるとします。空洞Vの内壁面(閉曲面)をSとします。Sの形状はとりあえず任意とします。
Sの内部に帯電した導体球をおき、その中心を座標の原点にとります。

空洞の内壁面Sの微小要素dSについて考えます。この点から原点までの距離をrとしましょう。

この点での電場を計算すると、まずSの全内壁面に分布している電荷がつくり出す電場の垂直方向成分は0です(Gaussの法則から考えればすぐ分かります)。一方、導体球がつくり出す電場の垂直方向成分は、同様にGaussの法則からQ/4πεr^2　と求められます。Qは導体球の全電荷、εは誘電率です。
問題はこの導体球が作る電場の「向き」ですが、最初に導体球の表面は一様に帯電していると仮定しましたので、電場はどこでも導体球の中心、すなわち原点を向くことになります。

導体の場合、表面近傍では電場は常に表面に対し垂直であることを思い出してください。もし電場が垂直でない成分を有するのなら、その方向にまだ電荷の移動が生じることになるからです。(「電場と等電位線は常に垂直に交わる」と説明してもよいですね)

となりますとdSは至る所で、その点と原点を結んだ線に対し垂直であることが言えます。Sの形状を表す関数を極座標表示の動径r(θ,φ)で表した場合∂r/∂θ=0、∂r/∂φ=0ですから、結局rは定数に限られます。すなわちSは球面であることが必要です。

以上の議論から「中心の導体球が表面に一様に帯電するためには、空洞の内壁面は同心球でなくてはならない」と言えます。

--------
(注意)外を囲む側が導体でない場合は電場Eと壁面微小要素dSの垂直が保証されないため、上記の議論は成立しません。

お礼

ありがとうございます。
導体球の表面で電場が動径方向だから空洞の表面でもそうなっている
という議論は正しくありません。
導体球の表面では電荷が非一様に分布していても、
当然、常に電場が動径方向をむいています。
従って、上の議論では、電荷分布の一様性が本質的に使われていません。

補足

失礼しました。
回答の意味をとりちがえておりました。
正しいです。

回答No.1

chukanshi

その通りだと思います。
対称性を考えれば、荷電導体球と、外の導体球の
中心が一致するときのみ、外の導体球の電荷分布が
一様になります。

また、逆に、中の荷電導体球になんの力も加わっていなければ、
自然と、荷電導体球と外の導体球の中心は一致する配置に
なるはずです。その配置が一番エネルギーが低いので。

お礼

ありがとうございます。
ですが、解の存在を質問してるのではなくて、
一意であることを示せるかという質問です。
それから、空洞の形が球であるとは指定していません。