鉛直投げ上げと投げ下げ？

質問

こんにちわ。次の問題の（３）ですが、答え見ても理解できなかったので、わかりやすく教えてください。ちなみに物理は習ったことないので、公式を丸暗記して解いています・・。；＾＾

地上２８ｍのビルの上から、鉛直下向きに小石を初速度４．２ｍ/sで投げ下ろす。
(1)小石が地面に達するのは何秒後か。
(2)小石が地面に達するときの速さを求めよ。
(3)同じ高さから、同じ大きさの初速度で真上に投げ上げる。小石が地面に達するのは何秒後か。

(3)は、投げ上げの問題ですよね？公式を見ると、Y=V0t-1/2gt~2で解くのではないのかな、と思ったんですが。解答は投げ下ろしの公式を使っていました↓なぜでしょう？？＠＠？
Y=V0t+1/2gt~2より、28=4.2t+4.9t~2(1)
整理すると、7t~2-6t-40=0 (2)
t>0より、約2.9(s)

もうひとつ、(1)を解いても(2)の式にはなりませんよね？？(1)を普通にとくと、7t~2+6t-40=0となるはず。なぜなんでしょうか・・・。

回答No.4

noname#21219 · ベストアンサー

y=v0t＋1/2gt^2という式の導出は
運動方程式に由来します。
運動方程式　mg=my"(y"は加速度)
を積分すると
mgt＋C=my' C:積分定数
y'は速度です。t=0でy'=v0とするとC=mv0
これをさらに積分すると
1/2mgt^2＋Ct＋D=my D:積分定数
Cを代入し、さらに時刻t=0で質点がy=0にあるとすると
D=0
よって、1/2mgt^2＋mv0t=myより
y=v0t＋1/2gt^2です
つまり、この式は運動方程式でmg=my"としたから
でてきたものです。mgを正としているのです。
mgが正なので、鉛直下向きはこの式では正です。
ですから、yのプラス方向は下です。ビルの屋上がy=0
だから、地面は＋28です。何故ビルの屋上がy=0かというと、t＝0でそこから出発するからです。出発するところがy=0です。

距離Yが何故負になるかということですが
y=V0t-1/2gt~2という式は、運動方程式において
-mg=my"として計算すると
y'=-gt＋C⇒y'=-gt＋v0⇒y=-1/2gt^2＋v0t
としてでてきますが、つまり力を-mgとしており
これは重力の向き・鉛直下向きを負としています。
ということは、原点(=出発点y=0)であるビルの屋上
からはかって、上向きが正になります。ですから、
屋上から28m下にある地上はy=-28なのです。

投げ上げの式か、投げ下げの式かで、いつのまにか
yの正負の方向がすりかわっているということです。
そして、y=0の点はいつでも出発点です。何故なら
t=0(出発点)で、y=0として積分したものが
投げ上げや投げ下げの式だからです。
初速度v0の向きについては、yの正負に一致させればいいです。つまり、投げ下げの式「を使う」なら鉛直下向きを自動的に正にとっているから、上に投げ上げればv0は負になるし、投げ下げればv0は正です。
投げ上げの式「を使う」なら、鉛直上向きを自動的に正にとるから、上に投げ上げればv0は正だし、
投げ下げればv0は負です。

お礼

とってもよくわかりました＾＾）/
長年？の疑問が晴れました。
これなら解けそうです。丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.3

4951snk

No,2のものです。
＞投げ上げの公式で、上向きを正とすると距離Yが負になるというのがいまいち理解できない……
　それは、Y分だけ落ちる(鉛直下向きに進む)から距離Yが負になると考えてみてはいかがでしょう。

お礼

なるほど！わかりました＾＾
ありがとうございました。

回答No.2

4951snk

(1)を普通に解くと、7t^2+6t-40=0　ですから、質問者さんは正しく解いていますね。(2)を解くには、(1)でtを出し、それを速度の式V=v+gtにあてはめないといけませんね。

(3)について。確かに、Y=V0t-gt^2/2　で解けます。
　ちなみに、投げ下ろしの式ではNo,1さんが指摘されたとおり、鉛直下向きを正にとるならV0=-4.2としなければなりません。
　投げ上げの公式で正解を導きましょう。
まず、0=28+4.2t-9.8t^2/2　となります。(28は初期の高さです。)
これを整理すると7t^2-6t-40=0　t>0より……
　あまり、投げ下ろしや投げ上げに囚われない方が良いです。こういうのは、どっちの向きを正にするかだけですので、人と違う方を正にしたからいけないわけではありません。

補足

回答あとがとうございました。たしかに、（１）の式は途中式が間違っていたようですね。ところで、私はその「鉛直上向きを正にとる」という意味がよくわかっていないみたいで・・。例えば、鉛直投げ下ろしの式Y=V0t+1/2gt~2で、下向きを正にすると初速度Voは上に投げあげているから負になると解釈しています。でも、投げ上げの公式で、上向きを正とすると距離Yが負になるというのがいまいち理解できないのですが・・　そこら辺、教えていただけると助かります＞＜）
結局、投げ下ろしの公式を覚えたほうが解きやすいのかな・・。

回答No.1

noname#21219

整理すると、7t~2-6t-40=0 (2
この式自体は正しいです。

ですが、Y=V0t+1/2gt~2より、28=4.2t+4.9t~2(1)
これは間違いです。鉛直下向きを正にとるなら
V0=-4.2としなければなりません。実際にそうしたものが(2)となっています。途中式のミスでしょう

Y=V0t-1/2gt~2でとくなら、鉛直上向きを正にとっていいるから、Y=-28としなければなりません。この場合V0=4.2です。

補足

回答あとがとうございました。たしかに、（１）の式は途中式が間違っていたようですね。ところで、私はその「鉛直上向きを正にとる」という意味がよくわかっていないみたいで・・。例えば、鉛直投げ下ろしの式Y=V0t+1/2gt~2で、下向きを正にすると初速度Voは上に投げあげているから負になると解釈しています。でも、投げ上げの公式で、上向きを正とすると距離Yが負になるというのがいまいち理解できないのですが・・　そこら辺、教えていただけると助かります＞＜）
結局、投げ下ろしの公式を覚えたほうが解きやすいのかな・・。