非線形振動子について

質問

現在大学で物理をとっているんですが、内容が難しすぎてよくわかりません。特に、非線形振動子と重ね合わせの原理がわかりません。重ね合わせの原理とは、高校物理ででてくる波ででてくるような感じだと思っていいのでしょうか？？教授に聞いてもさっぱりだし、教科書的なものもないし、どうしたら良いかわかりません。どなたか分かる方教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願いします

回答No.1

imoriimori · ベストアンサー

非線形振動子と重ねの理とがどうつながるのかよくわかりませんが。。。。

重ねの理とは、線形のシステムなら
原因（or 入力）ａに対する結果（or　出力）がＡであるなら、
原因（or 入力）ｋａに対する結果（or　出力）がｋＡである。
あるいはさらに、
原因（or 入力）ｂに対する結果（or　出力）がＢであるなら、
原因（or 入力）ａ＋ｂに対する結果（or　出力）はＡ＋Ｂである

ということを言います。
必ず習うはずなんですが。線形と非線型との区別は、とても大事なものです。そして線形なら重ねの理は成立します。というか重ねの理が成立するのが線形です。
物理法則として習得すべき基本的なものはたいてい線形です。美しい理論も大抵線形です。
下記ＵＲＬも参考になると思います。

参考URL：

http://virus.okwave.jp/kotaeru.php3?q=1448400

補足

非線形が重ねの理が成立しないのはどう示せるのでしょうか？それとも、覚えるのでしょうか？

回答No.2

atomicmolecule

一般的な定義は数学書や物理の本にのっているはずです。私には手持ちがないので、覚えている範囲の知識で回答します。

先ずX(t)に関する微分方程式を

F(X(t))=0

と書きます。例えば X''(t) = w^2 X(t)なら右辺を移項して、X''(t)-w^2 X(t)=0 とすれば、

F(X)=X''(t)-w^2 X(t)

です。こういう風に書いた時に,性質

F(X+Y)=F(X)+F(Y)

を満たす微分方程式を線形微分方程式といいます。先程の例なら

F(X+Y)=(X+Y)''-w^2 (X+Y)
=[X''-w^2 X]+[Y''-w^2 Y]
=F(X)+F(Y)

なのでこれは線形微分方程式です。線形なら

F(X)=０、F(Y)＝０となる二つの解を重ね合わせた

F(X+Y)=F(X)+F(Y)＝０＋０＝０

ですからやはり解です。非線形ならこうはならないでしょう。実際非線形振動子でやってみてください。