波元の出力が2倍になったら振幅は？

質問

高校物理の問題です。
波元から正弦波が送られているとします。
波元の出力が2倍になると、波のエネルギーは振幅の2乗に比例するのだから、振幅はルート2倍になると思います。
これを出力が同じ波が2つ重なったと考えると、重ねあわせの原理より、振幅は2倍になると思うのです。
なにか勘違いしているのでしょうが、わかりません。
どなたかわかりやすくご教授ください。お願いします。

回答No.6

imoriimori · ベストアンサー

No.5様（＝No.2様）の指摘に間違いは無いと思いますが、質問者様の例では同じ波元なので、ちょっと分かりにくくなっているような感じです。
そして、質問者様の「出力が2倍になると」というのが、「出力エネルギーが2倍」なのか、「出力振幅が２倍」なのか、曖昧であるところにも、議論の錯綜を呼ぶ点があるように思います。

次のように考えてみたらどうかなと思いました。
電源からアンテナに給電していて、適切なインピーダンスマッチングがされていて反射は無いとし、アンテナから出て行く電磁波の振幅を考えてみる。元の振幅がAとする。

電圧2倍で（電源を直列とかで）アンテナに給電すると、給電端電圧二倍で電磁波振幅は2A。給電エネルギーは4倍。これが同じ波が2つ重なった場合に相当。この場合は、重ね合わせの原理とも折り合いが付きます。

電力2倍で（電源を並列とかで）アンテナに給電すると、給電端電圧は√2倍で電磁波振幅は√2A。給電エネルギーは2倍。おそらくは質問者様は、この場合を想定しているのでしょうか。
なるほどこれだと重ね合わせの原理に違反するように見えなくはありません。アンテナを二つに分離して直近に置き、それぞれに給電する、そういうふうに考えても同じはずだ。このとき電力は2倍で、にもかかわらず、ずっと同相で重なった電磁波は重ね合わせの原理からして振幅2Aになるはずだ、ということで。
だけれども、この状況の時、それぞれの電源の供給電力が不変ならば、振幅は2Aにはならないはずです。片方のアンテナは他方のアンテナの作る電磁界に晒される。他方の作る電磁界の上に更にたとえばAの電磁界を積み上げるためには、何も無いところにAの電磁界を作るよりも更に大きなエネルギーを要するはずですから。何もアンテナを二つに分けなくても、自分が作るAの電磁界の上にさらに自分でAの電磁界を積み上げるのだって、2倍の電力では済みません。エネルギーは電界とか磁界とか振幅の自乗だ（一乗ではなく）、というのはこういう所に由来します。

補足

回答ありがとうございます。

　「他方の作る電磁界の上に更にたとえばAの電磁界を積み上げるためには、何も無いところにAの電磁界を作るよりも更に大きなエネルギーを要する」

これでかなり何がまずかったのかわかってきました。
まったく波のないところに別々に二つの波をおこして、その合成を考える場合は重ね合わせの原理でよいが、すでに波があるところに波をおこす場合はそういうわけにはいかない、という認識でよろしいでしょうか（電磁波じゃなくても）。

よろしくお願いします。

回答No.7

imoriimori

＃６です。一度しか回答しない主義なのですが、求められてしまったもので。

「まったく波のないところに別々に二つの波をおこして、その合成を考える場合は重ね合わせの原理でよいが、すでに波があるところに波をおこす場合はそういうわけにはいかない、という認識でよろしいでしょうか（電磁波じゃなくても）。」
それでよろしいです。

電磁波じゃなくてもだし、波では無くても、です。結局ご呈示の問題はエネルギーの話に帰着するのです。電界や磁界のエネルギーであっても、運動エネルギーであっても、等々普遍的なものです。

たとえば車を加速する場合を想像します。同じ秒速1mの加速をするのでも、静止から秒速1mと、秒速1mから秒速2mとでは、投入しなければならないエネルギーが違うわけです。
この場合、仕事は力×距離だから、秒速1mまでは仕事１だとすると、秒速1mから秒速2mまでは仕事３を要するわけです。
それと同じ話なのです。

直感的に納得しにくいですが、そういうものだとしか私のレベルでは説明できません。

お礼

ありがとうございました。主義を曲げさせてしまってごめんなさい。

回答No.5

ssp2548

これを読んでみてください。
bulletin.soe.u-tokai.ac.jp/Vol45No2_2005/23_26.pdf

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

回答No.4

shintaro-2

>これを出力が同じ波が2つ重なったと考えると、重ねあわせの原理より、振幅は2倍になると思うのです。

そこが間違い

電気で考えると、

　電流がAsinωｔならば、V=RIですから、電力[P]＝VI=RI^2=RA^2sinωｔとなります。
　出力[P]が２倍だからといって、電流の振幅は2倍である必要はないのです。

　同じ波を重ねると、4倍になってしまうのです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

kamobedanjoh

重ね合わせ方に問題があります。
位相を揃えて重ね合わせれば，振幅は２倍になりますが，位相をπだけずらしてやると０になります。
任意の位相では，それぞれの振幅をa，合成波の振幅をA，位相差をφとして
A=aSinωt+aSin（ωt+φ）

お礼

回答ありがとうございます。

補足

回答ありがとうございます。
NO.1の方のところに補足質問をつけましたので、それも見ていただければ幸いです。

回答No.2

ssp2548

振幅が２倍になるところがある一方、０になるところもあるので、
トータルではエネルギー保存則が成り立ちます。
左右から単発サイン波を出したとします。合流するまでは左と右に山が
１つづつ合計２個あります。合流すると波高は２倍になりますが、
山の数は1個に減ります。よってエネルギーの総量は変わりません。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

回答ありがとうございます。
NO.1の方のところに補足質問をつけましたので、それも見ていただければ幸いです。

回答No.1

over_the_galaxy

電力の重ね合わせは成立しません。
同じ出力電力の波源を2個重ね合わせたら、振幅は2倍で電力は4倍になります。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

NO.3の方まで、回答をいただきましたが、もう少し釈然としないので、補足をつけて欲しいです。
出力2Pの波をあえて二つの出力Pの波と考えているので、当然同位相のまったく同じ波です。
NO.1の方の回答からすると、2Pの波を二つのPの波の重ね合わせと考えてはいけないようですね。
Pの波の振幅がAだとすると、2Pの波の振幅は√2A、同位相のPの波二つの重ね合わせでは振幅2Aということでよろしいでしょうか。最後の場合エネルギー収支があってないような気がするのですがそれも説明していただきたいです。
よろしくお願いします。