線形代数の１次変換について

質問

行列P1={{2,1}, {1, 2}}、P2={{1,3}, {4,2}}をそれぞれ１次変換すると、単位円をどのような図形に変換するか？
という問題を解きたいのですが、線形代数を始めたばかりなので、よく分かりません。変換後は、楕円になるらしいのですが、どのように変換されていくのですか？分かりやすく教えていただけると助かります。

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

A を２×２の行列、r=(x, y)'とした場合、A r = s というr→s の変換を一次変換といいます。

今、単位円上の点はすべて z=(cos θ, sin θ)として表すことができますから、P1 z を計算すれば
x = 2cosθ+sinθ
y = cosθ+2sinθ
となります。ここからθを消去すれば x と y の関係式を得ることが出来ます。傾いた楕円が得られますよ。

P2も同様です。

回答No.2

masudaya

行列P1={{2,1}, {1, 2}}、P2={{1,3}, {4,2}}で表される１次変換で、単位円を変換する時それぞれどのような図形になるか？
という問題ではないでしょうか？

単位円上の点は(cosθ,sinθ)と表されるので変換後は
(2cosθ+sinθ,cosθ+2sinθ),(cosθ+3sinθ,4cosθ+2sinθ)となります.これをいじって図形に式を求めてもいいですし,P1の場合は回転行列をうまく用いると,きれいに楕円になると思います.