自然数から複素数までの拡張について

質問

自然数から、整数、有理数、実数ときて複素数へと拡張された、と講義で聞いたのですが、

実際にどのような手順を踏んで拡張されたのでしょうか？

また、それぞれどのような拡張すべき理由があったのでしょうか？

どなたかご存知の方がいらっしゃいましたら、回答お願いいたします。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

負の数は負債とか貸し借りとかの概念から始まり、
9世紀ごろまでには世界に広まっていたらしいです。

でも数学者は17世紀まで負の数を頑固に認めなかったそうですね。

回答No.5

alice_44

歴史的には、
自然数 → 正の有理数 → 正の実数 → 負の実数を含む複素数
の順番だったと思う。 その辺の経緯は、↓とかに書いてある。
「負の数学」 http://www.amazon.co.jp/%E8%B2%A0%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%80%95%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%8B%E3%81%91%E3%82%8B%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%AF%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%81%8B-%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BBA-%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%8D%E3%82%B9/dp/4791763130
足し算や引き算をするぶんには、正数と負数は対称だが、
(-1)×(-1)＝(+1) という非対称性はナカナカ受け入れられず、
i×i＝(-1) となる i が考えられて初めて、(-1) が、単なる
計算上の便宜ではなく、普通の数と考えられるようになった。
正の有理数 → 正の実数 がピタゴラスの時代の話で、
正の実数 → 負の実数および複素数 がカルダノよりも後の時代
であることを思うと、負数の受容には、随分と時間がかかった
ことになる。西洋ではね。

現代日本では、なぜだか
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数
という順番が信じられていて、もっぱら 実数 → 複素数 の所で
「虚数は実在するのか？」という話題になる訳だが、
算数の教程を振り返ってみると、実は、歴史どおりに
自然数 → 正の分数 → 正の小数 → 負数を含む有理数と実数
の順番で教わっているのだった。そうだよね？

日本人が正負の実数に特に抵抗感がないのは、寺子屋以来の
読み書き算盤教育を通じて、四則計算に親しい文化が育っている
からだと、勝手に思っている。四則計算は、有理数の世界だから。

回答No.4

Tacosan

ちょっと思い出した.

実数の範囲で方程式を考えると, 2次方程式では「複素数」なんて無視してもかまわない. でも, 3次方程式ではどうしても考えなきゃならない事情が存在する. つまり, 「係数は実数だし解も全て実数なんだけど, 途中で『複素数』を考えないと解くことができない」という状況が発生する. このあたりが, 「複素数」というものを (計算の道具として) 使うようになった理由.

とはいえ, この時点では「便宜上の道具」であって, 「複素数」が数学的な対象になるのはもっとあとの話.

って, なんか前にも書いたような気がする....

回答No.3

Tacosan

複素数は 3次方程式を解くときに「便利」だから, だったかな.

回答No.2

noname#221368

自然数は既知とします。自然数に0を含めるかどうかは、ちょっと議論がありますが、ここでは含めます。

　自然数の中では、常に足し算と掛け算ができた。しかし引き算と割り算は常に実行可能でなかった。

　常に引き算が実行可能なように、負数を導入し、整数を作った。

　整数の中では、常に足し算と掛け算と引き算ができたが、割り算は常に実行可能でなかった。

　常に割り算も実行可能なように、分数を考え、有理数を作った。

　有理数まで来た時、実数の存在はけっこう暗黙に認められていました。そのような状況下で、複素数は開発されます。

　実数の正式な定式化は、複素数よりちょっと遅いです。

　そして実数の開発は、自然数→整数→有理数→複素数の拡張の流れとは、かなり毛色が違います。自然数→整数→有理数→複素数は、代数的な拡張です。

　ｎ次方程式が常に解を持つことが可能なように、複素数を作った。もちろんきっかけは、2次方程式だった。

　√2が有理数でない事は、じつはピタゴラスの時代から知られていました。有理数全体と√2などの無理数全体も含む実数が年代的には最後に、正式定義されます。「暗黙に存在すると思えるし、思うだけで」、けっこう十分だったので・・・(^^；)。

　任意の有理コーシー列が収束するように、実数を構成した。これは解析的拡張です。

　そしていったん実数を定義してしまえば、それまで厳密には有理数a，bを用いてa＋b・ｉと表していた複素数を（ｉは虚数単位）、実数のa，bを用いてa＋b・ｉと表す事には、何の不都合もなかった。

　こんなところでしょうか？。(^^；)

回答No.1

funoe

自然数→整数
　自然数の世界で足し算、掛け算は自由にできたが、引き算で困った。たまに答えが出ない。３－５とか。
　いつでも引き算ができるように拡張。
　具体的には、自然数の順序対（ｍ，ｎ）に
　（m1,n1)+(m2,n2)=(m1+m2,n1+n2)
(m1,n1)*(m2,n2)=(m1m2+n1n2,m1n2+m2n1) で定義すると、加法の逆元がいつでも存在するようになった。

整数→有理数
　整数の世界で足し算、掛け算、引き算は自由にできたが、割り算で困った。たまに答えが出ない。２／３とか。
　いつでも割り算が出来るように拡張。
　具体的には、整数の順序対（i,j)に
　(i1,j1)+(i2,j2)=(i1j2+i2j1,j1,j2)
(i1,j1)*(i2,j2)=(i1i2,j1j2) で定義すると、乗法の逆元が零元（0,j）を除きがいつでも存在するようになった。

有理数→実数
　有理数の数列のうち、有界で単調増加な数列で、極限が存在しないものがあった。
　An＝（1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・・+1/n!）　とか。
　いつでも極限が存在するように拡張。
　具体的には、有理数の集合を上半分(?)と下半分(?)に分割する「切断」なるものを設定し、その「切断」について加法と乗法を定義する。
　書くのは超面倒なので、「有理数の切断」でググってください。