不等式

質問

次の問題を教えてください。
2(log1/3x)^2+7log1/3x+3≦0
を満たすxの範囲を求めよ。
宜しくお願いします。
1/3は底です。

回答No.4

mickel131 · ベストアンサー

hinebotさんの回答から２日経っています。この間、ご自身で解かれましたか？
最後までの解答を書きます。

まず、log（1/3）x　の真数x　には、x>0　　－－－（a)
という条件（真数条件）が付きます。
問題解決の鉄則「１つの式中に同じ物が２つ現れたら置き換えてみよ」により、
log（1/3）x＝ｔ　と置くと、　（1/3）＾ｔ＝ｘ
元の式は、　2t^2+7t+3≦0
因数分解して　（２ｔ＋１）（ｔ＋３）≦0
　　　　　　　従って　－３≦t≦－１/2
左半分の　－３≦t より、　（1/3）の－３乗　≧　（1/3）のｔ乗＝ｘ
　（不等号の向きが反対になったのは、底（1/3）が１より小さいためです。）
　　この左辺は、
（1/3）の－３乗　＝（３の（－１）乗）の－３乗　
　　　　　　　　　　＝３の（－１）*（－３）乗　＝３の３乗＝２７
　　ですから、　ｘ≦２７　　　－－－（b）
右半分の　t≦－１/2 より、　ｘ＝（1/3）のｔ乗　≧　（1/3）の(－１/２)乗　
　　この右辺は、
　　（1/3）の(－１/２)乗　＝（３の（－１）乗）の(－１/２)乗　
　　　　　　　　　＝３の（－１）*（－１/２）乗＝３の（１/２）乗＝ルート３
　　ですから、　ｘ　≧　√３　　－－－（c）　　　　

(a),(b),(c)により、√３　≦　ｘ　≦２７

回答No.3

hinebot

折角ですから、途中までやっちゃいましょう。
log1/3x=t とおきます。
すると
与式＝2t^2+7t+3=(2t+1)(t+3)≦０
よって、-3≦t≦-1/2
あとは、xをｔで表して…。

この先は、ご自身でどうぞ。

回答No.2

tkfm

#1の補足です．
7log1/3xをyと置いてまずyについての2次方程式を解けばokですね．

回答No.1

tkfm

log1/3xが1/3を底としたxだとして答えだけ書くと
不等式は√3<=x<=27で成り立ちます．