偏微分

質問

Φ＝cosΘiのとき
riで偏微分したいのですが
cosΘi=(rij,rik)/|rij||rik|
です。
解き方と答えを教えてください。

回答No.4

atsuota · ベストアンサー

ふたたび。式(7)を用いた式(8)の導出ですね。

まず式(7)はおおざっぱに書くと
∂Φ/∂xi = A*(xi-xj) + B*(xi-xk)
ですね。
同じ方法で
∂Φ/∂yi = A*(yi-yj) + B*(yi-yk)
∂Φ/∂zi = A*(zi-zj) + B*(zi-zk)
となります。
なので、
∇Φ = (∂Φ/∂xi,∂Φ/∂yi,∂Φ/∂zi)
　　 = A*(xi-xj,yi-yj,zi-zj) + B*(xi-xk,yi-yk,zi-zk)
　　 = A*rji + B*rki
となり、式(8)が導かれます。

それからっと。今度はΦ=cosΘjですか？
うーん。これまでの回答の計算を理解できていれば、これは同じやり方で単純に計算できるはずですが…。
とりあえず基本式だけ確認しておきましょう。
cosΘj = (rji,rjk)/|rji||rjk|.....(a)
（cosΘiの定義から明らかですね）
|rji|^2 + |rjk|^2 - 2*(rji,rjk) = |rik|^2.....(b)
（式(3)と基本的に同じですね）
この２式から式(4)と似たようなのができるはずです。
そこで、式(5),(6)と、あとは同様にして計算した
∂(|rik|^2)/∂xi = (∂(|rik|^2)/∂|rik|)*(∂|rik|/∂xi)
　　　　　　　　　= 2(xi-xk).....(c)
を使えば簡単に計算できませんか？
ちなみに、|rji| = |rij| ですよ。
（これは式(2)をよく見れば明らかですね。）
さっきと同じように∂Φ/∂xiを求めれば、あとはこれをy,z成分のも合成するとちゃんとベクトルrを使って書けると思います。

これでも解けなければ補足ください。

お礼

かなり細かいところまでの説明までいただきありがとうございました。
かなり悩んでいたので少し落ち着きました。
またわからないところが出てきましたら質問しますのでそのときはまたよろしくお願いします。
ありがとうございました。

回答No.5

stomachman

atsuotaさんの丁寧な計算に感服してます。それでついでにひとつ、便乗ですけれども、お願いできないでしょうか？

点 i, j, kを通る円を考え、iが円周上を走る時に、Θは一定の筈ですよね。ご質問のΦの微分を使ってこの円周を導出するには具体的にどうしたらいいでしょうか？

moleculerさん、お邪魔しましたー。

お礼

これはどうすればいいのでしょうか？
atsuotaさんがここで答えるのでしょうか？
もう少し質問を閉じるの待ったほうがよろしいですか？

回答No.3

atsuota

#2でsiegmundさんが書かれた定義
「点P(i),P(j),P(k)があり、
点P(i)からP(j)へのベクトルをrijと表す。」
を採用します。もし問題文を見て定義が違うようなら、読み替えてください。
また問題は「3次元直交座標系」で考えてよいと思われるので、その条件の元で考えていきます。
そこで、まず点P(i)の座標を(xi,yi,zi)と表すことにすると、内積およびベクトルの大きさの定義により、
(rij,rik)=(xj-xi)(xk-xi)+(yj-yi)(yk-yi)+(zj-zi)(zk-zi).....(1)
|rij|=√{(xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 + (zj-zi)^2}.....(2)
となりますね。
これを用いて
Φ=cosΘi=f(xi,xj,xk,yi,yj,yk,zi,zj,zk)
と表すことができます。（関数fの具体的な形は定義式に実際に式(1)(2)を代入してみてください）
これより、P(i)でのΦの∇は、
∇Φ=(∇iΦ,∇jΦ,∇kΦ)
　　=(∂Φ/∂xi,∂Φ/∂yi,∂Φ/∂zi)
となりますね。
こいつをゴリゴリと計算する方法が、一番原始的ですが、確実です。

別解として、余弦定理
|rij|^2 + |rik|^2 - 2*(rij,rik) = |rjk|^2.....(3)
を用いると、
Φ = cosΘi
　 = (1/2)*{|rij|/|rik| + |rik|/|rij| - |rjk|^2/|rij||rik|}.....(4)
となります。
ここで
∂|rij|/∂xi = (xi-xj)/|rij|.....(5)
（これは式(2)を使って実際にやってみてください）
∂(1/|rij|)/∂xi = (∂(1/|rij|)/∂|rij|)*(∂|rij|/∂xi)
　　　　　　　　　= - (xi-xj)/(|rij|^3).....(6)
（これは式(5)を使って実際にやってみてください）
を用いて計算をすすめていくと、

∂Φ/∂xi = {(rji,rjk)/|rij||rik|}*{(xi-xj)/|rij|^2}
　　　　　+ {(rki,rkj)/|rij||rik|}*{(xi-xk)/|rik|^2}.....(7)

となるので、まとめると、

∇Φ = {(rji,rjk)/|rij||rik|}*{rji/|rij|^2}
　　 + {(rki,rkj)/|rij||rik|}*{rki/|rik|^2}.....(8)

となりました。
（最後がちゃんとベクトルになってるのを確認してください。もしわからないようなら、また補足してください。）

補足

返答ありがとうございます
非常にわかりやすい説明ではあるのですが
自分で解いてみると７から８にまとめることができませんでした
簡易的なもので結構ですので導いてもらえないでしょうか？
あとΦ=cosΘjのときの∇Φriの偏微分の解も教えてもらえないでしょうか
少し混乱してて申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.2

siegmund

atsuota さんが書かれているように，ちょっとはっきりしないところがありますが，
式から察するに，P(i),P(j),P(k) の３点があって，
P(i)からP(j)へのベクトルが rij，ということらしいですね．
で，∠P(j)P(i)P(k) がΘiなのかな？
ちょうど内積の形になっていますから．
で，ri で偏微分ということですが，ri はベクトルです．
通常，ベクトルでの偏微分は grad_i Θi あるいは∇Θi ですが，
それを求めたいのでしょうか？

補足

申し訳ありません
∇Φriです。
Φはrijとrikの変数であり、角jikがΘiです。
こんなことでわかるんでしょうか？
また説明不足な部分がありましたらご指摘ください

回答No.1

atsuota

rijとrikの定義がわからないと偏微分できないです。
多分ベクトルだとは思いますが、もう少し整理してもらえますか。

補足

rijとrikはΦの変数です。
iという場所からj間での距離をrij
同様にkという場所までの距離をrikと考え
角jikをΘiと考えていただきたいです。