√を使ったとても難しい等式（大学以上のレベル）

質問

ちょっと難しいとは思いますが、

√5+√(22+2√5)
=√(11+2√29)+√{16-2√29+2√(55-10√29)}

という等式を、１９７４年にShanksという人が見つけたようです。

等式を示すのに、２乗しても、移項しても、うまくいきそうにありません。
等式を示せれた方は、（細かい式は特に不要ですので）どいった方式で解いたかを教えていただけ無いでしょうか？

回答No.1

debut · ベストアンサー

この式がどういう意味を持って、どんな発見なのかさっぱりですが、

右辺の　√{16-2√29+2√(55-10√29)}　の部分を
√[{5+(11-2√29)}+2√{5(11-2√29)}]=√5+√(11-2√29)　と２重根号を
はずして、√(22+2√5)=√(11+2√29)+√(11-2√29)　を示せばいいのでは？

お礼

まことにありがとうございます。
こんなややこしい、２重根号のはずし方をするのですね。

また、いろいろ検索して調べると、

{2^(1/3)－1}^(1/3)
=(1/9)^(1/3)－(2/9)^(1/3)+(4/9)^(1/3)

というこれまた証明困難な等式を見つけました。出展は、
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/ramanujan.html

もし、可能でありましたら、その等式も考慮いただき、簡単に説明いただけると幸いです。

補足

失礼しました。新しい質問は、あらためて投稿しようと思います。

回答No.2

kabaokaba

まさに#1さんのおっしゃるとおりで
二重根号を外してから両辺を二乗すればOKです．

大学の数学（工学でも理学でも）では
こういう具体的な数式を
直接追いかけることはあまりありません．
大抵は裏に理論的な何かがあって，
その具体例として簡単な数字を当てはめると
自明ではない数式がでてきたりします．

ちなみにこういう一見なんじゃこりゃという式で
有名なのはなんといっても
ラマヌジャンです．

ここでいう「Shanks」さんは
多分，アルゴリズムとか暗号論のShanksさん
だと思うから，数論的な何かがあって，
見つけたものなんじゃないかな．

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問題としてのレベルとしては，
高校1，2年生か数学が得意な中学三年生くらいかな
＃知識的には高校受験の範囲です．

お礼

まことにありがとうございます。
こんなややこしい、２重根号のはずし方をするのですね。

また、いろいろ検索して調べると、

{2^(1/3)－1}^(1/3)
=(1/9)^(1/3)－(2/9)^(1/3)+(4/9)^(1/3)

というこれまた証明困難な等式を見つけました。出展は、
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/ramanujan.html

もし、可能でありましたら、その等式も考慮いただき、簡単に説明いただけると幸いです。

補足

失礼しました。新しい質問は、あらためて投稿しようと思います。