ローパスフィルターについて初歩的な質問

質問

ローパスフィルターでの抵抗の役割について質問です。

=Ｒ============
　　　　　 |
　　　　　Ｃ
　　　　　 |
===============

という回路で

１）抵抗が回路の上段にしかないのはなぜか？交流を扱うなら上下段両方に必要では？

２）そもそも抵抗の役割は何か（抵抗なしでこの回路を組んだ場合どうなるのか）？　文献を読んだところ「電流の流れを遅くすることでローパスフィルターになる」と書いてあったのですがなぜ電流が流れにくくなるとなぜローパスフィルターになるのかがわかりません。

教授ください。

回答No.6

thyristor · ベストアンサー

No.5の補足です。

抵抗がないとローパスフィルタにならない、と書きましたが、これは無負荷時の出力電圧についてで、カットしたい周波数成分に対し、コンデンサのインピーダンス　＜＜　負荷のインピーダンス　という条件が成り立てば、抵抗が無くてもローパスフィルタになります。

回答No.5

thyristor

1)については既に解答されていますので、2)だけ。

抵抗がないと入力電圧＝出力電圧となりますから、ローパスフィルタになりません。しかし、実際に回路を製作する上ではコンデンサだけでもローパスフィルタになります。（導線にも抵抗が存在しますからね）

お礼

ありがとうございます。基礎的な部分を再度勉強してみます。

回答No.4

jameskun

＿＿
　　　 ｜
　　　 Ｒ
　　　 ｜＿＿＿＿
　　　 ｜
　　　 Ｃ
　　＿_｜＿＿＿＿

件の回路をこのようにしたら、わかり易いでしょう。
これはよくある『抵抗分圧回路』と同じです。違いは下側がＲでなくＣになってるだけです。
この場合、Ｃを『周波数によって変化する抵抗』と考えれば、何故ローパスフィルターになるかがわかるはずです。

お礼

ありがとうございます。この図はいろいろ応用がききそうですね。

回答No.3

sanori

２本の配線のうち、下の方の配線は、ＧＮＤ＝０Ｖと固定して考えます。
（別に０Ｖでなくても、固定ならば何でも良いですが）

そして、簡単のために、ＯＵＴを宙ぶらりん（オープン）にします。

ＩＮ→=Ｒ============宙ぶらりん
　　　　　　　　 |
　　　　　　　　Ｃ
　　　　　　　　 |
ＧＮＤ===============

ＩＮに、方形波の立ち上がり（０Ｖ→Ｖｉｎ）が入力されたとしましょう。
（宙ぶらりんのところの初期値は０Ｖです。）

すると、宙ぶらりんのところがＶｉｎに等しくなるまでの間、ＩＮＰＵＴからの電流はキャパシタＣを充電しなくてはいけません。

式を立てます。
・宙ぶらりんのところの電圧をＶｏｕｔ
・Ｒに流れる電流をｉ

と置きます

Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　＝　Ｒ・ｉ

Ｃ・（Ｖｏｕｔ － ０）＝　Ｃ・Ｖｏｕｔ ＝　電荷

ところが、
Ｃに貯まる電荷の時間変化は、電流ｉに等しいので

ｄ／ｄｔ　Ｃ・Ｖｏｕｔ ＝　ｉ

これを上の式に代入すると

Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　＝　ＲＣ・ｄ／ｄｔ Ｖｏｕｔ

ここで
Ｖ　＝　Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ
と置く。

Ｖｉｎは定数なので、
ｄ／ｄｔ Ｖｏｕｔ　＝　ｄ／ｄｔ（Ｖｏｕｔ－Ｖｉｎ）
　　　＝　－　ｄ／ｄｔ（Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ）
　　　＝　ｄＶ／ｄｔ
とすることが出来る。
よって
Ｖ　＝　－ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ
ｄＶ／Ｖ　＝　－１／（ＲＣ）・ｄｔ
積分すると
ｌｎＶ　＝　－ｔ／（ＲＣ）　＋　定数その１
よって
Ｖ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）×定数その２

ところが、方形波がｔ＝０で立ち上がったとき、Ｖｏｕｔは０Ｖとして考えていたので、
Ｖ（ｔ＝０）　＝　Ｖｉｎ
でなくてはならない。
したがって
Ｖ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）×Ｖｉｎ
となる。
Ｖ　を元に戻して　Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　とすれば
Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）×Ｖｉｎ

１ － Ｖｉｎ／Ｖｏｕｔ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）
　　　　　　＝　だいたい　１÷（２．７のｔ／ＲＣ乗）
いっちょあがり。

-------------------

１ － Ｖｉｎ／Ｖｏｕｔ　＝　だいたい　１÷（２．７のｔ／ＲＣ乗）

この計算結果が何を意味しているかというと、

時間がＲＣ秒進む毎に、
１００％充電（左辺＝１）に対する残りが２．７分の１倍されていくことを示しています。
つまり、
ＲとＣの値の積が大きいほど、ＶｉｎからＶｏｕｔへ早く信号が伝わり、
ＲとＣの値の積が小さいほど、ＶｉｎからＶｏｕｔへ遅く信号が伝わる、
ということです。

これ以降は、感覚的にとらえてください。

Ｖｉｎの立ち上がりが緩慢でも、Ｖｏｕｔの立ち上がりも緩慢なので、
ＶｏｕｔはＶｉｎの信号を、そのまま伝えていることになります。

一方、Ｖｉｎの立ち上がりが急峻なときも、Ｖｏｕｔの立ち上がりは緩慢なので、
ＶｏｕｔはＶｉｎの信号を、そのまま伝えていることにはなりません。

そして、ＣとＲの積がさらに大きくなると、あまり急峻でないＶｉｎ信号でさえ、Ｖｏｕｔに伝わりにくくなります。

そして、Ｖｉｎの信号が立ち上がり、立ち下がりを繰り返す場合、
周波数が高いと、ＶｉｎのパルスがＶｏｕｔに十分伝わる前に、Ｖｉｎの、次のパルスが始まってしまいます。

つまり、「周波数の高い成分は通過できず、周波数の低い成分は通過する」ことと全く同じ意味になります。

【結論】
ＲとＣの積が大きいほど、低い周波数成分だけが通過するようになる

ご存知かもしれませんが、
τ＝ＲＣ　を「時定数」と呼びます。

（τはギリシャ文字「タウ」・・・ｔやＴを使うと、時間や温度と紛らわしいので、ギリシャ文字を使うことにしたのでしょう。多分。）

お礼

ありがとうございます。まだ自分には理解できていない部分も多いですが少しずつでも勉強してみます。

回答No.2

otto0001otto

＃１さん。
なかなかうまい説明ですね。

＞抵抗が回路の上段にしかないのはなぜか？
別に上である必要はありません。
なぜなら、回路を流れる電流はどこでも同じだからです。
上に入れても下に入れても、両方に入れてもおんなじです。

＞そもそも抵抗の役割は何か
電流を定義できる（決める）ということです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

i-q

コンデンサは交流分を通し、直流分を通しません。信号の周波数が高いほど、コンデンサの方に信号が流れ、低い周波数（直流に近い）信号はコンデンサを通れず抵抗に流れるのです。
　結果、高周波にとってコンデンサはただの導体に近く、抵抗がある回路より抵抗値が低いコンデンサの方を通り。低周波にとってコンデンサは絶縁体に近く、抵抗がある方に流れてゆくのです。

電気について勉強中なので一般人にしました。間違いがあったら誰か補足して下さい(^_^)

お礼

ありがとうございます。

補足

ただi-q さんの回答では抵抗の役割について今ひとつわかりません。
コンデンサが周波数の低い信号には抵抗としてのみ働く、はいいにしてもそれなら直流、交流同様に抵抗として働くもの（Ｒ）は不要ではないかな？とか思ったものですから。