ループ電流と磁界

質問

ループ電流内での磁界の強さについて質問です。

半径ｒのループ電流があるとします。
円の中心を(0,0,0)として円の中心(0,0,0)から円(r,0,0)までのｚ方向の磁界の強さの変動を考えたいのですが、
横軸にｒ(0～ｒ)、縦軸にｚ方向の磁界の強さとしてグラフに表そうと思っています。

予想として円の中心が一番磁界の強さが高いと思うのですが式で表すことができません。
特にｚ方向の磁界の強さというのがネックです。
どういう方法で式に表せるでしょうか？

div,gradは理解しているつもりです。
よろしくお願いします。

回答No.4

atomicmolecule · ベストアンサー

先程の計算は途中でミスがありました。正しい式は

dH　=　(1/4π)*(1-x cos)/(1+x^2-2x*cos)^(3/2) dθ

分母は３乗ではなく、３／２乗でした。楕円積分が出てこないわけだ、すみません。それで修正した積分を計算して、回転対称性からｘを原点からの距離ｒと読み替えると

H =1/(2π|1-r^2|)
×{ (1-r)E(-4r/(1-r)^2)+(1+r)E(-4r/(1-r)^2)) }

です。答えは自分でちゃんとチェックしてから使ってください、計算が正しいことは保障しません。Ｅは第二種の完全楕円積分で

E(x)=∫_0^{π/2} √(1-x*sin^2(θ)) dθ

です。楕円積分は数値計算のライブラリーにある事もありますが、結局上の式を直接数値計算した方がはやいでしょう。

お礼

ありがとうございました。
上記を参考に理解できました。

回答No.3

atomicmolecule

ビオ・サバールの法則をつかってください。通常は質問に対して解答を全て書くのは質問者のためにならないと思うので書かないところですが、今回は計算方法やベクトル解析の計算になれるという事もあるだろうと思うので、解答の詳細をかきます。他人のやり方を見るのも勉強になると思うので最初は丸写しでも自分で計算を追ってみてください。

dH=I/(4πr^3) [ds×r]

s = 電流の位置
r = 位置ｓの電流からみた測定地点の一ベクトル
I = 電流の強さは1 としましょう。

s=(cos(θ),sin(θ),0)
ds=dθ(-sin(θ),cos(θ),0)
r=(x,y,0)-(cos(θ),sin(θ),0) = (x-cos(θ),y-sin(θ),0)

ここで簡単のためにy=0としますと

[ds×r]=dθ*(0,0,1-x*cos(θ))

です。ｚ軸方向の磁場だけを考えるので　[ds×r]_{z}=dθ*(1-x cos(θ))だけを考えましょう。
すると

dH　=　(1/4π)*(1-x cos)/(1+x^2-2x*cos)^3 dθ

です。後はθを０～２πまで積分してください。公式集とにらめっこすると答えは

Ｈ＝∫dH　=　(1/2+x^2)/(1-x^2)^4

となります。答えはｘ＝１で発散しますが、これは電流のある位置での磁場
なので無限大になってしまいます。答えは回転対称なのでｘを原点からの位置と
読み直して

H(R) = (1/2+R^2)/(1-R^2)^4

R=原点からの距離　（Ｒ＝√(x^2+y^2) 平面状に限る）

です。自分でチェクしてください。こまかいところは間違いがあるかもしれませんが
積分は正確にやり、一応チェックしました。積分ができないんなら数値的にやれば
問題ないと思います。その場合はx=1での積分は発散するので計算機にそんな値を代入
すると止まってしまいますから注意です。

補足

非常にわかりやすいお答え有り難うございます。
これを参考にして自分で計算を追っていきたいと思います。

ただ、一つだけ質問なのですが下の方で楕円積分というのが出てきたため参考書を読みimoriimoriさんの指摘されたような参考URL
http://virus.okwave.jp/kotaeru.php3?q=1661965
の楕円積分の問題が出てきて非常に長い解法となってしまいました。

atomicmoleculeさんの解法だと楕円積分が出てきてなく、非常にわかりやすい解法となっている感じるのですが、何かしらのテクニック（近似や省略）をしているのでしょうか？

回答No.2

imoriimori

式については下記ＵＲＬをご参照。＃１様ご指摘のように簡単ではありません。

なぜ円の中心が一番磁界の強さが高いと思うのでしょうか？
普通なら直感的に、ループ電流に近いところが強磁場だと思うはずですが。div,grad以前にビオサバール、いやそれ以前にアンペールの法則によりワイヤ直近が最強ということは明らかでは？

参考URL：

http://virus.okwave.jp/kotaeru.php3?q=1661965

補足

URL参照いたします。有り難うございます。
ワイヤ直近が最強ということについてですが、ｚ＝10程度なら中心が強いので安直に先走ってしまいました。
ご指摘有り難うございます。

回答No.1

ryn

ｚ軸上以外での磁場は楕円積分が出てきて
初等関数だけで表すことはできません．

補足

返信有り難うございます。
完全に式に表したいのもあるのですが、概念的に理解したいので詳しい説明をお願いできないでしょうか？
また、楕円積分についても調べてみます。