ベストアンサー ※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：陰関数の極値を求める際の式変形について） 陰関数の極値を求める際の式変形について 2006/02/02 22:57 このQ&Aのポイント 陰関数の極値を求めるための式変形について解説します。例えば、次の陰関数yの極値を求める場合、式変形を行います。また、別の陰関数の場合は複素数の範囲で考える必要があります。 陰関数の極値を求める際の式変形について 次の陰関数yの極値を求めよ。 F(x,y) = x^3*y^3+y-x = 0 F'=0、つまり ∂F/∂x = 0 となる為には、 ∂F/∂x = 3x^2*y^3-1 = 0 より 3x^2 = y^(-3) ここまでは合ってますよね？ そこからF = 0 の条件を求めていくと y = (4/27)^(2/5) とかいう とんでもない値が出てきたのですが、これ、どこか間違ってる場所ありますか？ あと、同様に f = x^4+2x^2+y^3-y = 0 でのyの極値は f_x = 4x^3+4x = 0 で x(x^2+1) = 0 となるわけですが・・ この場合は複素数の範囲で考えなくてはならないのでしょうか？ 質問の原文を閉じる 質問の原文を表示する みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー noname#15728 2006/02/03 10:10 回答No.1 初めの問題に関して言えば、解き方は合っていると思います。ただ、連立させて y を出すときに計算しそこなったようですね。あなたの計算より五割増し程の値になる筈ですよ。 後の問題に関して言えば、抑々陰函数は実数の組に関して定義されるものです。x^2+y^2=1 ならば実数 x に対して実数 y が定まって円になりますね。ですから後の問題では x=0 に対応して…となる訣です。極値は三つあります。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 陰関数の極値 ｆ(x,y)=0について、xの陰関数yの極値ってどう求めるのでしょうか？ dy/dxを求めると式にx,yが含まれていて、ここからどうすればいいかが分かりません。教えてください！ 陰関数の極値 連続投稿申し訳ないです。 陰関数の極値を求める問題をやっていました。f'(x)=-F_x/F_yで導関数を求めたまではよかったのですが、そこからどうすればよいか分からず、かなり悩んでいます。f'(x)=0とおいてみたのですがよく分かりませんでした。調べてもなかなか無いので質問させていただきました。分かる方回答お願いします。 陰関数の極値を求める方法について。 ある問題で、 (x^2+y^2)^2 = a~2(x^2-y^2) のとき、yをxの関数とみて極値を求めよ。x>0とする。 という問題があるのですが、陰関数f(x,y)=0のとき、yをxの関数とみて極値を求める方法として、 1). f(x,y)=0かつfx(x,y)=0を満たすx,yを求める。 2). 1)の解(x,y)=(x0,y0)について fxx/fy > 0 → y=y0は極大値… という手順を踏むのですが、なぜ1)でfx=0を求めるのでしょうか？ 陰関数といっても、普通にyはxの関数としてみるのならば、dy/dx=0を求めればいいような気がするのですが…。その次は、なぜ、d^2y/dx^2を求めるのでしょうか？こっちは、普通に２階微分してるのが、よく分かりません。 かなり頭がこんがらがっている気がします。よろしくお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 陰関数の極値 x^3-3axy+y^3=0 (a>0) で、陰関数yの極値を求めたいのですがよく分かりません。 やり方を詳しく教えてください、よろしくお願いします。 極値、陰関数の問題です。 (x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)=0について 1.f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)とおいたときのf(x,y)の極値 2.f(x,y)=0は点P（√３/2,1/2）で陰関数y=ψ(x)を持つことを証明してください 3.(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)=0に上の点P（√３/2,1/2）における接線の方程式 それぞれの解答解説をおねがいします！ 二変数関数で陰関数の極値問題 大学1年です。 今、二変数関数の陰関数の極値問題をやっていて分からない事が生じたので質問させていただきます。 だいたいの部分は理解できたのですが、一つだけ分からない所で 「点x=aがf'(a)=f''(a)=0を満たす場合には、さらに高次の微分係数f^(n)(a)を調べた後に、「極値判定条件」を適用する必要がある。」 とあります。そしてその後の例題に、 「…（省略）、f'''(x)=3/2≠0となり、極値を持たない。」 と言う風になっています。（式が難しいので、具体的な数値は省略させていただきます。） (1)なぜ、高次の微分係数を調べると極値の判定に結びつくのでしょうか？ (2)その後の極値判定条件とは何でしょうか？例題を見る限り0になると極値になり得るということでしょうか…？ よろしくお願いいたします。 陰関数の問題。 陰関数の問題。 x^3-3xy+y^3=0で与えられる陰関数の極値を求めたいのですが 答えが上手く出ません。 自分がやった結果、 x=-1で y^3+3y-1=0を満たすようなyの組みで極値をとるというところまで進めて、行き詰まりました。 よろしくお願いします。 陽関数と陰関数の違いについて。 ようかんすう【陽関数】 二つの変数xとyの関係がy＝f（x）の形で表される関数。 いんかんすう【陰関数】 二つの変数xとyの関係がf（x,y）＝0の形で表され、yの値が直接xの値で示されていない関数。例えばx2＋y2－1＝0・・(1)やx2＋2xy＋y2＝1・・(2)など。 陰関数と言われている(1)より、ｙ＝±√（ーx^2＋１）・・(3)となるから、そもそも(3)にて、 かんすう【関数】 二つの変数x、yがあって、xの値が決まると、それに対応してyの値が一つ決まるとき、yはxの関数であるという。記号y＝f（x）で表す。 から、(3)は関数ですらないんじゃないんですか？ そういうのがあって、陽関数と陰関数の違いが分からないんですが、具体的にどういう違いがあるんですか？高校数学の範囲でお願いします。 2変数関数の極値を求める問題について 微分積分の回答をお願いいたします。 関数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^3-3ｘｙ+ｙ^2について次の問いを求めよ １、ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の偏導関数を計算し、極値の候補を求めよ、 ２、ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の第二次偏導関数を計算し、上で求めた候補が極値かどうか求めよ、 また、極値ならば極大か極小か吟味せよ。 回答をお願いいたします。 関数 陽関数 陰関数 陽関数と陰関数について教えて下さい。 まず、陽関数と陰関数は関数における分類ではなく 形式だと理解しています。 x,yを変数、a,bを定数とする。 陽関数形式は、 y=ax^2+bのような形式。 対して、陰関数形式は、 y-ax^2-b=0のような形式。 質問（1） 陽関数形式についての疑問なのですが、 例えば、2y=ax^2+bは陽関数形式と言えるのでしょうか？ y=1/2（ax^2+b）としなければ陽関数形式とは言えない のでしょうか？ また陰関数形式は、必ず右辺が0でなければならない のでしょうか？ 例えば、y-ax^2=bは陰関数形式と言えないのでしょうか？ 質問（2） 関数は、ある値xに対してただ1つのある値yが対応するような関係 だと理解しています。 このとき、y=f(x)と表して、yはxの関数と言う。 例えば、 y^2=x⇔y=±√xです。 陽関数形式と言う場合、1対1の対応がなければいけない のでしょうか？ y=±√xは陽関数形式と言えますか？ y^2-x=0は陰関数形式と言えるのでしょうか？ y^2=xは、y=±√xと表されyはxの関数ではありません。 陰関数形式と言う場合、1対1の対応がなければいけない のでしょうか？ y^2-x=0は陰関数形式と言えますか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 陰関数定理 x,yに関する連続な関数 z=f(x,y) がz0=f(x0,y0)となる点(x0,y0,z0)付近でx,yについて陰関数定理を満たしているとする，即ちこの点周辺で∂f/∂x・∂f/∂y≠0で∂f/∂x，∂f/∂yは共に連続とした場合，∂y/∂x，∂x/∂yの値はどうなるのか教えて下さい。 考えてみたのですが F(x,y,z):=f(x,y)-z=0 と置き，条件より陰関数定理が成り立つので y=φ(x,z) x=ψ(y,z) と書け F(x,z,φ(x,z))≡0 F(y,z,ψ(x,z))≡0 より ∂y/∂x=∂φ/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y) ∂x/∂y=∂ψ/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂x)=-(∂f/∂y)/(∂f/∂x) として良いのでしょうか。 一見，与関数に於いてx,yは独立変数に見えるので ∂y/∂x=∂x/∂y=0 となる様にも思うのですが…。 どちらが正解なのか教えて下さい 極値の問題 次の関数の極値を求めよ。 f（x，y）=x^4+y^4-4(x-y)^2 という問題で、極値を取り得る点は（0、0）、（2、-2）、（-2、2）になりました。このうち（0、0）では、D = 0となるので，別の方法を必要とします． 色々調べたのですが，y=x上でf（x，y）>0、y=0 上でf（x，y）<0であることを見抜けば、(0，0)近傍で大小が違ってくるので，f（0，0）は極値ではないと書いてありました。 ここで質問なんですが、（2、-2）、（-2、2）における極値の求め方はわかっているので、y=x上でf（x，y）>0、y=0 上でf（x，y）<0となる方法だけ、解説をお願いいたします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 極値 関数f ( x ) = xlog x - ax^2 -x + 1 について、次の問いに答えよ。 f ( x ) が極値をもつような a の取り得る値の範囲を求めよ。 解答 「 f ( x )が極値を持つ 」 「f ' ( x )がその前後で符号を変えるxの値を持つ」 「x ＞ 0 において y = log x と y = 2axのグラフの上下が変化する」 y = logx 上の点（ t , log t ) における接線は・・・・・★ y = 1 / t ( x - t ) + log t = 1 / t x - 1 + log t これが( 0 , 0 ) を通るとすると 0 = - 1 + log t log e t = 1 ( log のeが低でtが真数です ) ∴ t = e よって y = logx の接線で原点を通るものは y = (1 / e )x したがってグラフより 2a ＜ 1 / e ∴ a = 1 / 2e ★以降がよくわかりません。 なぜ、接線が出てきて、原点を通るものなのか、eはなぜでてきたのか。 わかりやすく、教えてくださいお願いします。 2変数関数の極値について F(x,y)=xy が G(x,y)=x^2＋xy＋y^2-1 を満たしているとき、F(x,y)の極値を求めよ。 という問がわかりません。 ラグランジュの未定乗数法を用いて解いてみたのですが、 ・極値をもつ可能性のある点は、(±1/√3, ±1/√3) または(±1,∓１) でよろしいのでしょうか？ ・これらをF(x,y)に代入した値を極小値、極大値としてもよろしいのでしょうか？ 御教授よろしくお願いいたします。 複素関数の式変形 複素関数について勉強していてわかんなくなったので教えてください。 ☆|z+4|+|z|<8 の条件を満たす複素数の存在範囲を式を用いて説明せよ。 っていう問題なのですが、楕円になるのはわかりますが、うまく式で示せないです。 z=x+jy (jは複素数) を上式に代入して | (x+4)+yi | + | x+yi | < 8 √{(x+4)^2+y^2} + √(x^2+y^2) < 8 にして両辺を2乗して√消そうと思ったんですが、式がごちゃごちゃになって√が簡単に消せそうにないです。 簡単でしょうがこのなるべくわかりやすくやり方を書いていただければうれしいです。 ２変数関数の極値を求める問題が分かりません。 次の２変数関数の極値を求める問題が分かりません。 1） f(x,y)=x^3-2xy-y^2-x 2） f(x,y)=xe^(-x^2-y^2) 何方か分かる方がいらっしゃったら途中過程の解説をよろしくお願いします。 関数の極値と鞍点の求め方 以下の関数の極値と鞍点の求め方について分かる方はいませんか？ (1)f(x,y)=(x^3)-(3x^2)y+(3y^2)+6y (2)f(x,y)=(x^3)-(3xy^2)+(1/5)y^2-(y^3) 数III第2次導関数と極値 数III第2次導関数と極値 次の関数の極値を、第2次導関数を利用して求めよ。 f(x)=x+2sinx (0≦x≦2π) この問題の解き方がわかりません。 解答よろしくお願いします。 条件付きの極値の問題 g(x,y)=x^2 -(1/4)y^2 -1 のもとでの関数f(x,y)= x^3 + y の極値を求めろ、という問題で F(x,y,λ)= x^3 + y -λ(x^2 -(1/4)y^2 -1) とおき、それぞれ微分したFx,Fy,Fλを求めます。 そこから(x,y)(±2/ルート3,-+2/ルート3)の二点がf(x,y)の条件付きの極値の候補点として求まります。 (2/ルート3,-2/ルート3)の近くでg(x,y)=0の陰関数をy=ψ(x)とおき、p(x,ψ(x))とおく。 p(x,ψ(x))＝０を繰り返し微分して、 するとψ'(2/ルート3)=-4 ψ''(2/ルート3)=6 ルート３ となるようなのですが、それがどうしてそうなるのかがわかりません。 どんな計算でψ'(2/ルート3)=-4 ψ''(2/ルート3)=6 ルート３ が求まるのでしょうか？ ２変数関数の極値 ２変数関数ｆ（ｘ,ｙ）＝ｘ^３－（ｘ^２－ｙ^２）/２＋ｘｙ^２を考える、という問題です。 問題の（３）でｆ（ｘ,ｙ）の極値を求めよ、と問われたのですが、 Ｄ（ｘ,ｙ）＝ｆxy（ｘ,ｙ）^２ーｆxx（ｘ,ｙ）ｆyy（ｘ,ｙ） とおき、ｚ＝ｆ（ｘ,ｙ）の停留点（ａ，ｂ）をもとめて、極値の判定を行ったところ、Ｄ（ａ，ｂ）＞０となり ｆ（ａ，ｂ）は極値ではないとなってしまいました。 ちなみに、停留点は（０，０）になりました。 これは正解なのでしょうか？それとも計算間違いですか？ 間違っていたら過程を教えていただけないでしょうか。お願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
