陰関数の極値を求める際の式変形について

質問

次の陰関数yの極値を求めよ。

F(x,y) = x^3*y^3+y-x = 0
F'=0、つまり ∂F/∂x = 0 となる為には、
∂F/∂x = 3x^2*y^3-1 = 0 より 3x^2 = y^(-3)

ここまでは合ってますよね？
そこからF = 0 の条件を求めていくと y = (4/27)^(2/5)　とかいう
とんでもない値が出てきたのですが、これ、どこか間違ってる場所ありますか？

あと、同様に f = x^4+2x^2+y^3-y = 0 でのyの極値は
f_x = 4x^3+4x = 0 で x(x^2+1) = 0 となるわけですが・・
この場合は複素数の範囲で考えなくてはならないのでしょうか？

回答No.1

noname#15728 · ベストアンサー

初めの問題に関して言えば、解き方は合っていると思います。ただ、連立させて y を出すときに計算しそこなったようですね。あなたの計算より五割増し程の値になる筈ですよ。
　後の問題に関して言えば、抑々陰函数は実数の組に関して定義されるものです。x^2+y^2=1 ならば実数 x に対して実数 y が定まって円になりますね。ですから後の問題では x=0 に対応して…となる訣です。極値は三つあります。