陰関数の極値

質問

x^3-3axy+y^3=0 (a>0)　で、陰関数yの極値を求めたいのですがよく分かりません。
やり方を詳しく教えてください、よろしくお願いします。

回答No.1

starflora · ベストアンサー

当然のことですが、これはｘとｙの関数で、ｘに対しｙの値が変化し、ｙの極値を求めるということですね。

　　ｄｙ／ｄｘという関数を計算し、これを０とした時が、ｙの極値です。ただ、上の極値か、下の極値からは、これだけでは分かりませんが、それは質問に入っていません。提示の式全体を、ｘで微分します。

　　3x^2-3ay-3ax(dy/dx)+3y^2(dy/dx)= 0
　　(-3ax+3y^2)(dy/dx)= 3ay-3x^2

　　ここまではよいでしょうか。これから

　　dy/dx= 3(ay-x^2)/3(y^2-ax) =(ay-x^2)/(y^2-ax)= 0

　　条件　y^2-ax not = 0　（not = は、「＝でない」です）
　　ay-x^2= 0　→　y=x^2/a
　　これを、最初の式に代入します

　　x^3-3ax(x^2/a)+(x^2/a)^3 = 0
　　-2x^3+x^6/a^3 = 0
　　x^3 = X として代入すると　-2X+X^2/a^3 = X(X/a^3 -2) = 0
　　よって　X=0 または X=2a^3
　　この時　x=0 または x=a√/3/(2)=a(2^(1/3))

　　y=x^2/a でしたから、y=0 または　y=a(2^(2/3))

　　条件は、y^2-ax not = 0　でした。
　　x=0 y=0 の解は、この条件を満たしません。０になるからです。
　　もう一つの解は
　　a^2(2^(4/3))-a^2 (2^(2/3)) で
　　これが０になる時は、a=0 ですが、これはa>0から除外されます。

　　従って、回答は
　　x=a(2^(1/3))　で、y=a(2^(2/3))　です。

　　ちょっと下手な解き方かも知れません。
　　考え方、解き方、実際の解く手順を上に詳しく記しました。
　　考え方や解き方で分からない部分があれば、尋ねてください。

　　また、途中で計算を間違えていることがあるかも知れません。それは、自分で計算してみて、答えを求めてみて、確認してください。解き方の質問ですから、これでよいと思います。