単振り子の運動で…。

質問

振り子の運動で空気抵抗などの影響で振幅がだんだん小さくなっていきその振幅の減少と時間との関係についての実験を行いました。
そこで今回の実験ではデータをグラフにプロットする時に縦軸を振れ幅の角度の対数、横軸を時間としていました。
何故、縦軸が対数なのでしょうか？
グラフはほぼ一次関数の右肩下がりとなり見やすくなったのですが、見やすくしただけが縦軸を対数にした理由だとは思えません。
読みずらい文章になってしまいましたがよろしくお願いいたします。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

自然界には 『 ある量があって、それが変化する速さが その量に比例する 』 という現象が多いです。例えば 化学反応の進行は濃いほど速いとか、生物の増え方は個体数が多いほど速い（人間の人口爆発や微生物の繁殖）とか、金持ちほど儲かる（経済活動全般）‥‥とかです。 「量」を「強さ、速さ」などに言い替えても同様です。　これを式で書いてみましょう、量Xの時間変化がX自身に比例する；
　　dX/dt = AX
ですね。
ちょっと変数分離して解いてみると、
　　dX/X = Adt
　　logX = At
　　X =ε(At)
という指数関数になりました。量の大小が絡む自然現象は指数関数っぽくなるみたいですね。 あなたが指数関数に出会ったのは数学でしたか？そのときこんな話はあったでしょうか、これを読んで「え？物理とか化学では重要な事ってことか？」みたいな気がしましたかｗ
で、
ご質問の「振り子の振幅の減少現象」も 空気の粘性摩擦のために「振れる速度が速いほど（エネルギ散逸が）速い」と仮定できれば、同様の式が成り立ちそうですね。　実験結果が指数関数にどれだけ綺麗に乗ってるかを見たい；そこで上式の対数を取ってしまうと
　　logX = At
と、式が一ステップ元に戻って
　　y = At
という直線に。つまり 綺麗な直線なら綺麗に指数関数に乗ってる‥
　でした。

　余談
念のため「空気摩擦による損失は速度が速いほど（エネルギ散逸が）速い」は低速での近似に過ぎませんので。　あと指数関数がよく出てくる例として半導体工学があります。これは量子力学のフェルミ統計
　　ε(-エネルギ/温度)
を出発式として築き上げた工学なのでどこまでも指数関数が付いて回ります。
対数の方は、日常でよく見聞きするのがオーディオの「デシベル」ですね。よくある説明として「人間の聴覚は対数特性だからそれに合わせたもの」とかいう縁起噺を見聞きしますが、これは純粋に電気工学が起源で、伝送ケーブルを伝わる電気的現象が 上記の振り子と同じ
　　振幅 = (最初の振幅)ε(-A距離)
だからです。
電気では時間と距離は対等です。ケーブルの品質Aを示す計算に由来します。
デシベルというネーミングは後世の電話のベル（人名）です。
余談を広げると切りがないのでこの辺で。

　振り子に限ったことではないということです。

お礼

身近な例を取り上げて頂いたり、非常にわかりやすく書いていただきありがとうございます。
解説していただいた式をもとに計算してみます。
ありがとうございました。

回答No.3

Teleskope

>>　解説していただいた式をもとに計算してみます <<

　いきなり減衰振動の微分方程式ですか‥参考までに。

減衰のない振り子の運動方程式(長さL、振幅微小)
　　md2x/dt^2＋mg・x/L = 外力 = 0
に、速度に比例した摩擦力 Rdx/dtが加わって
　　md2x/dt^2＋Rdx/dt＋mg・x/L = 0
ですか？

振動解になるか否かの判別は係数の二次式
　　mp^2+Rp+mg/L = 0
の根の判別式
　　R^2－4m^2g/L
が負なら、exp(複素数)すなわちsinやcosになってくれます。軽快に振れるためには摩擦は
　　R＜2m√(g/L)
に限られるということですね？（粘度の高い油の中なら抵抗Rが大きすぎて往復振動するまえに止まる、と。）

で、日頃お使いになってる微分方程式の本などを参照すれば、
最初の振幅を Xo として
　　x(t) = Xo・ε(-t/τ)・sin(ωt＋φ)
　　τ = 2m/R　　減衰の時定数
　　ω = √(g/L－a^2)　　自由振動の角周波数
　　φ = tan-1(ω/τ)
ですね。

以上のようになりますが、質問者氏が実験で測定したのは、振動のピークすなわち sin(上式)=±1 の時点のx(t)だと思うので
　　x(t) = Xo・ε(-t/τ)
ですよね？
で、データーをこうしちゃうと。
　　x(t)/Xo = （ご自分で）
これの対数を取ったら、
　　測定した勾配 = （ご自分で）
すなわち、
　　振り子の空気抵抗係数 R = （ご自分で）
ではありませんか？

（今日はよく似たレスを続けて書いたのでこんがらがってるかも知れません、独自に求めて確認してください。）

回答No.1

hirokazu5

手順が違います。

そういう問題は、実験を始める前に原理として勉強しておくことです。そうしないと、対数グラフに載せる意味が理解できないでしょう。

過ぎ去ったことは仕方がないので、「私はなぜ、この実験結果を対数グラフ（片対数ですか？）にしたか」を考察で堂々と論じましょう。

原理を勉強せずに実験だけして、何で対数グラフを使ったの？と人任せにたずねるようだと先が思いやられます。単振り子って、物理学の基本みたいなところでこんな調子ではねぇ。

補足

すみません。
私ももっと事前学習をしてから実験にのぞむべきだったと反省しております。

が、
「単振り子って、物理学の基本みたいなところでこんな調子ではねぇ。」
と、おっしゃいましたが私は基本を軽んじるものは恥だと思っています。
なので、基本中の基本だとしても私自身が納得いかなかったり、理解できなかった場合にはそれがたとえ基礎的で今更質問すること自体が恥だとしても質問します。
なぜなら、聞かぬは一生の恥という言葉通りであると思うからです。