２次関数の最大と最小の問題

質問

学校のテストのやり直しをしなくてはならないのですが、どうしてもこの問題がとけません。

ｆ（ｘ）＝ｘ２乗ー１０ｘ＋ａについて
ａ≦ｘ≦ａ＋１における最大値Ｍ（ａ）を求めよ。

という問題なのですが、ｆ（ｘ）の式にもａがあり
ａ≦ｘ≦ａ＋１の式にもａがあるのがちょっとわからないです。どなたか教えてください。

回答No.2

yokihito005 · ベストアンサー

何年生でしょうか？　懐かしい問題です（笑）
こうした問題では，すぐにグラフを描く習慣をつけましょう。。

f(x)=x2-10x+a を２次形式にすると，つぎのようになります。
f(x)=(x-5)2+a-25

これは，グラフでは，下に凸の放物線で，軸はx=5，最小値はa-25であることを意味しますよね。

このことをグラフ化してください。。a-25がどんな値になるか気にせず（つまり正か負か）描くのがコツです。

最大値を求める領域 ａ≦ｘ≦ａ＋１ の意味ですが，
ａ～ａ＋１の間，すなわち幅１の領域であって，どことは固定されていないという意味です。

さきほど描いたグラフ上に，ａ≦ｘ≦ａ＋１の領域を描いてみましょう。たとえば，ａが３付近だと，３≦ｘ≦４ですから，放物線が下向きの部分になります。最大値は，ｘ＝ａのときですよね。
ａを右にうごかしていくと，(1)ａ＋１＜５，(2)ａ，ａ＋１が５をまたぐ場合，(3)５＜ａのときと場合分けができるでしょう。

答はａで場合分けされて，(1)はｘ＝ａ，(2)はｘ＝５，(3)はｘ＝ａ＋１のときであることがわかります。

お礼

分りやすい解説をありがとうございます。とても理解しやすかったです。

回答No.1

oyaoya65

y=x^2 -10x+a=(x-5)^2+(s-25)
この放物線の対称軸はx=5
ですので以下のように場合わけして考えてください。
１）a+1＜5の場合→M(a)=f(a)

２）a≦5≦a+1の場合→M(a)=f(a)とf(a+1)の大きい方
さらに場合わけして
２－１）a≦5≦a+(1/2)の場合→M(a)=f(a+1)
２－２）a+(1/2)＜5≦a+1の場合→M(a)=f(a)

３）5＜aの場合→M(a)=f(a+1)

以上のヒントをもとにして、
後は解答を作成して示してから、質問を補足して下さい。

お礼

御丁寧な解説をありがとうございました。おかげさまで問題を理解する事が出来ました。