この行列式の変形は当然？！

質問

勉強していた本にふと載っている行列式の変形なのですが、この式変形は当然のものとしていいのか(保証されるのか)、何か特別な条件や説明(証明)が必要なのか疑問に思い質問させていただきました。（行列のべき級数展開？）どなたか教えて頂ければ幸いです。

P+2P^2+3P^3+・・・・+rP^r+・・・・
=P(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)
+P^2(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)
+P^3(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)
+・・・・+・・・・
+P^r(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)
=P(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)

ただし、P・・・行列で成分は全てプラス
　　　　E・・・単位行列

以上、上のような式なのですが、一行目の式を無理矢理(?)二行目以下のように分解してP(E+P+P^2+・・・+P^r・・・)でくくっているようです。行列を途中で分解したりカッコをくくったりしてもよいのか(成り立つ)、本には当然のように書いてあるのですが疑問に思った次第です。変な質問でしたらすいませんが、アドバイスなどあればよろしくお願いいたします。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

行列の場合，A×B　と　B×Aは一般に等しくなりませんので，積の順序が変わらない範囲，および積の順序が変わっても問題がなければ，式変形が可能になります．

ご質問の場合,出てくる行列同士のかけ算は，
P×EとP×Pの２種類で，

P×E = E×Pですし，
P×Pは同じものですから，順序が影響を及ぼしません．

ですから，式変形ができます．

お礼

なるほど、確かにP×E = E×PとP×Pは同じ計算結果で影響を及ぼさないです。わかりやすいアドバイスありあとうございます！

回答No.3

yumi_yumi_mayumi

この式変形はなんら特別なことをやっていません。＃1さんのご説明がすべてを物語っていると思います。ちなみに行列をカッコでくくることは数学的に何の問題もありませんよ。

お礼

行列ですので何か特別なのかと勘違いしていました。ありがとうございます！

回答No.2

rinkun

問題は積の順序じゃなくて無限級数の収束ですよね。
元の式が収束しているなら各成分がプラスということから絶対収束が言えて項の順序変更も問題ないかと。
収束してなければ……両辺とも無限大でこれも問題なしか?

補足

ご意見ありがとうございます！説明不足ですいません。
ｒ→∞のとき、P^r→０に収束するとありました。ということはＯＫでしょうか！？