閉曲線上のすべての接線の勾配の和は０ですか？

質問

ひとつの閉曲線の上を周回する際に各点における接線の勾配を足すと０になると思いますが、このことはこの曲線をあらわす関数が連続(＝滑らか？）であること関係があるのですか。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

確かに、質問者のような、足し方でいけば和は０となります。しかし、そうすると、対象となる点は無限個になりますね。また、ある点と対になる点（絶対値が等しく符号が反対の点）は一意に存在するかどうかが疑問となります。

また、三角形のような多角形では「勾配の和が０」というのは、当てはまりませんから、閉曲線は楕円のような、滑らかな曲線で考えた方が良いかも知れません。

一般的に滑らかな凸閉曲線を「卵形線」といいます。卵形線について調べれば面白い性質が、たくさん見つかると思います。ちなみに、卵形線の曲率の極値を「頂点」といいます。

お礼

ご教示有難うございます。勉強をしたいと考えております。

回答No.1

ojisan7

「接線の勾配を足す」ということですが、どのように足すのでしょうか。足し方を式で説明してもらわないと、何とも答えようがありません。

接線の勾配ではなく、接線の外角であれば、外角の和は３６０度となります。より、一般的にはガウス・ボンネの定理が成り立ちます。

補足

周回するとき必ず正負の符号が異なる絶対値が等しい勾配を持った２点が存在すると思いました。この対になった２点の勾配を足すとは必ず０になるので全体でも０になるのかと思いました。