どちらかと言うと、熱力学的問題ですが

質問

風呂に入った400kgの水(5.0℃)を適温(42.0℃)にするとき水の熱容量を4.2×10の3乗J/(kg K)とするならば、
42.0℃にするために加える熱量〔J〕は
熱量Q=mCΔT 【但し、m=質量流量、C=熱容量、T=温度(K)】から、
Q=4.2×10の3乗×400×((42+273.14)-(5.0+273.14))
≒6.2×10の7乗〔J〕
となりますよね？
ここからが問題で、
沸かした湯から熱が逃げ、その速度q〔J/s〕は湯温Tと外気温Teの差に比例し、q=k(T-Te)となる。時刻tからt+dtの間に、湯温がTからT+dTに変化するとして、熱収支式を求めよって問題です。

私は、「熱収支」から(後の熱量-前の熱量)と考え、
またエネルギー収支はdE/dt=(mCΔT)/Δt【但し、E=エネルギー、t=時間(s)、m=質量流量、C=熱容量、T=温度(K)】から、
dE/dt=(k(T+dT-Te)/(t+dt))-(k(T-Te)/t)
と考えたのです。q=(mCΔT)とも成り立ちますし。
しかし、これで合っているかどうか不安なんです。そもそも熱収支式とはどの状態のことを指すか分からないし・・・。これで合っていると思いますか？それとも何か違っているのでしょうか？長い文章でかつ難解な文章で申し訳ありませんが、何かご意見くれたら嬉しいです。

回答No.1

c80s3xxx · ベストアンサー

時間 t から t+dt までの間に外から加える熱量を dE とする (この熱も微小量であるから，微分形で考える)．
この間に，温度は T から T+dT まで上昇するので，温度上昇に使われる熱量は mCdT である (q=mCΔT を微分形で書いただけ)．
同時に外気に逃げていく熱量は k(T-Te)dt である．k(T-Te) が熱放出「速度」で，これに時間 dt をかけて放出熱量となる．なお，ここで，微小時間 dt の間の温度変化 dT は小さいので，T の変化は無視して十分である (もし考えても，この間のTの変化は1次関数で近似してやれば十分で，k[{T+(T+dT)}/2}-Te}dt となるが，これは k(T-Te)dt + (k/2)dTdt となり，2次の微小量は無視できるから，結局この間の温度変化はこの項については考えても意味がない)．
熱収支とは要するにエネルギー保存のことであり，与えた熱=たまった熱+逃げた熱ということにすぎない．つまり，dE = mcdT + k(T-Te)dt が熱収支をあらわすことになる．

お礼

熱収支って、たまった熱と逃げた熱の合計量のことだったんですね。
有難うございます。見事に問題解決できました。大変分かりやすかったです。
本当に有難うございました。