死亡した日より後の支給日の給料については、下記所得税基本通達により所得税は源泉徴収しなくて良い事となっていますので、実務上でも差し引く必要はない事となります。
（相続財産とされる死亡者の給与等、公的年金等及び退職手当等）
９－17 死亡した者に係る給与等、公的年金等及び退職手当等（法第30条第１項《退職所得》に規定する退職手当等をいう。）で、その死亡後に支給期の到来するもののうち相続税法の規定により相続税の課税価格計算の基礎に算入されるものについては、課税しないものとする。（昭63直所３－３、直法６－２、直資３－２、平元直所３－14、直法６－９、直資３－８改正）
（注） 上記の給与等、公的年金等及び退職手当等の支給期については、36－９、36－10及び36－14の(1)に定めるところによる。
住民税については、基本的に前年分の所得に基づいて、６月～翌年５月までの税額が決まりますので、これについては死亡されたとしても納税義務はそのまま遺族に引き継がれる事となります。
取り扱いとしては、基本的には、通常の退職の場合と同様で、６月～１２月までに退職の場合は、その月分のみを徴収して、以後は遺族への普通徴収となり、翌年１月～５月まに退職の場合は、一括徴収すべき事となります。
ただ、６月～１２月まで退職の場合であっても、遺族の意向を聞いて一括徴収する事も可能とは思います。
その辺のところは、市町村に念のため確認された方が良いとは思います。
お礼
さっそくの回答ありがとうございました。いつも助かります。