ベクトル・内積

質問

a→≒0→,b→≒0→ について p→＝a→＋tb→(tは実数)の大きさが最小となる、a→とb→のなす角がθのとき|p→|の最小値をθを用いて表せ。という問題で、
～～～～0°≦θ≦180°のとき sinθ≧0だから　|P→|^2＝|a→|^2＋sin^2θ　⇔　|P→|＝|a→|＋sinθ
と書いてあったんですけど、なぜ
＞0°≦θ≦180°のとき sinθ≧0
を考える必要があるのでしょうか？？

回答No.3

endlessriver

＃１です。出勤時急いでいたので足りませんでした。θで微分するなどしてもう少し式をつめて正確に最小値を求めねばと思い、改めて質問を読んでみると意味が不明でした。
質問の前半と後半がつながっていません。
回答を撤回させていただきます。

回答No.2

tarame

＞|P→|^2＝|a→|^2＋sin^2θと書いてあったんですけど
本当にそう書いてありましたか？
おそらく、|P→|^2＝|a→|^2×sin^2θ の間違いだと思うのですが！！

回答No.1

endlessriver

ａとｂのなす角がθだからｂの成分をａに平行な成分αと垂直な成分βに分けます。
α＝ａ＋｜ｂ｜ｔ・ｃｏｓθ
β＝｜ｂ｜ｔ・ｓｉｎθ
｜ｐ｜＝√（α^2＋β^2）だからβ＝０のとき｜ｐ｜は最小になる。これはベクトル図を考えても明らか。
するとθ＝０か１８０゜。
あとαが最小になるにはａとｔ・ｃｏｓθの符号が反対の時であるから、ａとｔの正負が同じか異符号かに分ければθが
０か１８０゜か決定できます。