内積の問題

質問

この問題がどうしても解けません。
分かる方、どうかお助けください。m(_ _)m

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

OA=3, OB=2, ∠AOB=60°である三角形OABの辺ABの3等分点をP，Qとするとき,
→　 　→
OP と OQ の内積を求めよ。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

回答No.6

eijitkn · ベストアンサー

矢印を書くのが面倒だから、OA,OB,OP,OQはベクトルとする。
条件から、|OA| = 3 ，|OB| = 2 ，OA・OB = |OA||OB|cos60 = 3
OPはOAとOBを1：2に内分するベクトルだから、OP = (2OA+OB)/3
OQはOAとOBを2：1に内分するベクトルだから、OQ = (OA+2OB)/3
OP・OB = (2OA+OB)/3・(OA+2OB)/3
= (2|OA|^2+5OA・OB+2|OB|^2)/9 = 41/9

参考URL：

http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/

お礼

ありがとうございました。本当に助かりました

回答No.5

bob

<OA>を点Oから点Aのベクトルとすると、

<OP> = ( 2<OA> + <OB> ) / 3
<OQ> = ( <OA> + 2<OB> ) / 3

になります（線分<AB>の内分点）。

ここから<OP>・<OQ>を計算してOA, OB, <OA>・<OB>を代入してみましょう。

お礼

ありがとうございました。本当に助かりました。

回答No.4

guiter

OP などはすべてベクトルを表すとします。

まずは、
　OP = ○OA + △OB
　OQ = ●OA + ▲OB
というように、OP,OQ を OA,OB で書きます。
そうすれば、あとは内積をとるだけです。
　|OA| = 3
　|OB| = 2
　OA・OB = |OA||OB|cos60
という情報があるので出てきますね。
頑張ってみてください。

お礼

ありがとうございました。おかげさまで解決できました。

回答No.3

wogota

というわけで、さっきのやり方をやってみると

O(0,0) A(3,0) B(1,√3) P(7/3,√3/3) Q(5/3, 2√3/3)
となるので、

35/9+2/3=41/9

お礼

ありがとうございました。座標を使っても解けるんですね☆

回答No.2

wogota

最初のBの座標のx,yが逆ですね。間違えちゃった

回答No.1

wogota

無理やり座標を適用してみるとこうなります。

O(0,0) A(3,0) B(2sin60°,2cos60°)で、B(√3,1)

APQBの順で並ぶとすると、P(a,1/3) Q(b,2/3)と表示できる。

A,Bは直線上にあるから、y=hx+kに代入して、
h=-(3+√3)/6,k=(3+√3)/2を得る。P,Qもy=hx+k上にあるので、

a=2+(√3/3), b=1+(2√3/3)となる。

よって、
→　→
OP・OQ=ab+1/3・2/3=(26+15√3)/9

こんな解き方より、もっとスマートな方法はあるはずですので、
他の方の説き方を参考にしてください。