オイラーのベータ関数について

質問

オイラーのガンマ関数は階乗の一般化だと思うのですが、ベータ関数はどういう意味があるのかわかりません。いろいろ数学史の本を読みましたがオイラー自身がどういう動機でベータ関数を定義したのか調べることができませんでした。二項係数の逆数に似ているのですが、微妙に違います。ご存知の方よろしくお願い致します。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

物理屋の siegmund です．
ガンマ関数もベータ関数もよく使っていますが，
ベータ関数の由来については知りません．
ガンマ関数の定義の積分を Euler の第２種積分，
ベータ関数の方を Euler の第１種積分と称するところを見ると，
Euler においてはベータ関数の方が先だったんでしょうか．

二項係数の逆数と微妙に違う，と書かれているところを見ますと，
すでにご存知かとも思いますが
1/B(n,m) = m×C(n+m-1,n-1) = n×C(n+m-1,m-1)
です．
C(p,q) は p 個の中から，q 個取る組み合わせの数．
う～ん，惜しいところですね．
mB(n,m) を新たになんとか関数と定義すれば(あるいは，さらに n,m をいじる)，
二項係数の一般化になりますが，
そうすると B(n,m) = B(m,n) という美しい関係がなくなってしまうし....

どうも余りお役に立つ回答になっていませんね．

お礼

またまたご回答ありがとうございます。

「Euler においてはベータ関数の方が先だったんでしょうか」
私はガンマ関数の方が先だと考えていましたが、たしかにベータの
方が先かもしれません。アルファベット順でも確かにベータの方が
先ですね。アルファ関数はあるのでしょうか。

ベータ関数の極の留数はガンマ関数になるという意味ではベータ
関数の方が先かもしれません。

ベータ関数の積分の式をみると、積分区間の両端で0になる最も
簡単な関数の形だと思います。二項係数との関連は偶然かも
しれません。

「B(n,m) = B(m,n) ) という美しい関係がなくなってしまうし」
そうですね。
ヴェネチアーノもα(s)とα(t)とで対称になるように、ガンマ関数を
組み合わせてヴェネチアーノ振幅に到達したので、
対称というのはベータ関数のよい性質ですね。