この問題がわかりません。誰か教えてください。微積の範囲です。

質問

１辺の長さが2の正三角形ABCがある。点Aからの距離がxでBCに平行な直線をlとする。
（１）直線lが三角形ABCと共有点を持つとき、この三角形をlの周りに回転してえられる回転体の体積Vをxの式で表せ。
（２）（１）の回転体の体積Vの最小値を求めよ。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

難しいことはありません。頑張って解きましょう！

一辺２の正三角形ABCを、BCに平行な直線を軸にして回転体を作る。その体積を求めよ。ただし軸はAからの距離がhであって、0≦h≦√3。
（ご質問ではxと書いてありますけど、hに変えました。）
という問題。

　X-Y座標系において、回転軸をX軸に一致させ、頂点AがY軸上に来るようにします。図形はY軸について鏡像対称ですから、X≧0の部分の回転体の体積が分かれば、その２倍が求める体積Vです。以下、X≧0だけについて考えます。だから底辺1、高さ√3の直角三角形についてだけ考えればよい訳です。

まずは三角形をY>0の方へX軸で折り返してみましょう。hの値によって２通りの場合ができる。
(1) 0≦h≦√3/2のとき。台形になります。
Ｙ
＾
｜－－－－－－
｜　　　　／
｜　　　／
＋－－－－－－－－> Ｘ
この台形は
Ｙ
＾
｜－－－－－＋
｜　　　　／｜
｜　　　／　｜
＋－－－－－－－－> Ｘ
長方形から、右下の直角三角形を除いた物である。
これをX軸の周りに回転させて出来る立体の体積は、（円筒の体積）-（円錐の体積）になる訳ですね。円筒と円錐、それぞれの半径と高さが分かれば、体積はすぐに求められます。

(2) √3/2≦h≦√3のとき。台形の上に直角三角形のツノが生えています。
Ｙ
＾
｜＼
｜－－－－－－
｜　　　　／
＋－－－－－－－－> Ｘ
台形の部分については、(1)と同様です。ツノについてはこう考える。
Ｙ
＾
｜＼
｜－＋
｜　｜＼　
＋－－－－－－－－> Ｘ
大きい直角三角形から、長方形と、右下の小さい直角三角形を除いた物がツノですね。だから、
（ツノを回転してできる立体の体積）＝(大きい直角三角形を回転してできる円錐の体積） -（ 長方形を回転してできる円筒の体積） - （右下の小さい直角三角形を回転してできる円錐の体積）

(1)(2)共に、体積Vはhの２次式で表されます。だから(1)(2)のそれぞれの場合についてdV/dh=0になるhを求めて、それが(1)あるいは(2)の条件（0≦h≦√3/2、√3/2≦h≦√3）を満たすかどうかチェックすれば、Vが最小になるhが分かります。

お礼

ありがとうございました。解けました。

回答No.2

kazu-kun

まず、図を書きましょう。
正三角形の一辺（ＢＣ）を紙の水平にして、点Ａを上に書く。
直線を適当な位置に引く。
直線をｙ軸とする。（ｘは使っているので。）右が正方向。
直線と三角形の交点をＤ，Ｅとする。
ＡからＤＥに垂線をひく。（この長さは当然ｘ）
Ｂ，Ｃからｙ軸に垂線を引く。
それぞれのｙ座標は、０と２。
Ｄ，Ｅの座標は、ｘで表せます。（自分で計算してください）
それを仮に、ｄ，ｅとする。
(1)０＜ｙ＜ｄの範囲、(2)ｄ＜ｙ＜ｅの範囲、(3)ｅ＜ｙ＜２の範囲
に分けて考えます。
ただし、(1)と(3)は同じなので(1)を計算して２倍する。
(2)は単なる円柱になります。
(1)は円柱から、円錐を引くだけ。
体積Ｖを出すのは積分する必要なし。

問題(2)はｘで表したＶを微分して、０＜ｘ＜√３の範囲の極小値を求める。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

kazu-kun

この問題のどこが分からないのですか？　補足して下さい。

補足

解き方がわかりません。方針をおしえてください。