５人の休みが重なる確率

質問

Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅの５人は、それぞれ１年間の休日が（ランダムに）１００日ずつあります。
この５人の休みが一致する（５人全員が休みになる）確率（日数）は
どのように計算されるのでしょうか？

また、１年間の休日が、Ａ：８０日,Ｂ：９０日,Ｃ：１００日,Ｄ：１１０日,Ｅ：１２０日とすると
５人の休みが一致する（５人全員が休みになる）確率（日数）は
どのように計算されるのでしょうか？

(休日/365)^人数＿など色々考えたのですが
いまいち解りません・・・

何卒よろしくお願いいたします。

回答No.1

shin5ichi · ベストアンサー

１年間で、全員の休みが一致する日数を出したい、という事ですよね。

まず、ある１日に全員が休む確率を出したらいいと思います。
で、１年は、１日が３６５回あるので、その確率に３６５を掛ければ、
一年間での日数を出す事が出来ると思います。

まず前者の場合、
ある日に、Ａさんが休む確率は、100/365。
Ａさんが休んだ上で、さらにＢさんが休む確率は、100/365×100/365。
のように解いていけば、ある１日に全員が休む確率は、おっしゃるとおり(休日/365)~人数
この場合は、(100/365)~5でだいたい0.15％くらいでしょうか？
それに、３６５を掛けると、約0.56日。
日数で言うと、２年に一回くらいの割合になります。

ですが、「一年間のうち、全員の休みが一致する日がある確率」となると話は別です。
その場合は、１から、「全員の休みが一致する日が１日も無い確率」を引く事になります。
例えば、さいころを３回振って、１回でも「１」が出る確率を出すには、
１から、「３回とも１以外の数がでる確率」をひかなければなりません。
つまり、１－(5/6)~3=91/216となります。

これを例題に当てはめてみると、
ある一日に、全員の休みが一致しない確率は、100-0.15（％）なので、およそ99.85％。
これが、１年間続く確率を出さなければなりませんから、99.85~365で
およそ57％。これが、１年を通して、全員の休みが一致する日が「ない」確率です。
一年間で、全員の休みが一致する日が「ある」確率をだすには、
１（100％）から、「ない」確率を引く。
つまり、100-57＝43で、４３％になると思われます。

同様に後者の例の場合は、
80/365×90/365×100/365×110/365×120/365=0.001467041
日数で出すのなら、0.001467041×365＝0.535469785　で、およそ0.54日／年
確率でいうと、1-（1-0.001467041)~365=0.414835894　で、約41％になると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
「全員の休みが一致する確率」と「全員の休みが一致する日がある確率」、
始め違いを理解するのに難儀しましたが
なんとか解かりました。

回答No.3

sakura_214

ある適当な（ランダムな）１日（例えば今日4/12）を選んで，この日がＡの休日である確率は，100/365≒0.27（約27％）です．この日がＢの休日である場合も同様で，その確率は100/365です．ではこの日がＡとＢどちらの休日でもある確率を求めるには，この日がＡの休日でもあり，かつＢの休日でもなければならないので，その確率は(100/365)×(100/365)＝(100/365)^2≒0.075（約7.5％）となります．このように考えていくと，この日がＡ～Ｅ全員の休日である確率は，(100/365)×(100/365)×…×(100/365)＝(100/365)^5≒0.0015（約0.15％）という非常に低い確率になることがわかります．この(100/365)^5≒0.0015という確率は，ある適当な１日を選んだ場合の５人とも休日であるという確率ですが，これを１年間＝365日を通じて考えると，１年間で５人とも休日であると期待される日数が，(100/365)^5×365≒0.56（約0.56日）であるとわかります．

１つ注意すべき点ですが，ここで計算された日数は，確率的に起こりうると期待される日数であって，各人が100日ランダムで休日をとるといつも必ずこの日数になるわけではありません．例えランダムにとったとしてもたまたま全員が100日同じ日に休日をとったら，5人の休日が一致する日数は100日であり，逆に1人の休日が他の4人の休日とまったく一致しなかったら，5人の休日が一致する日数は0日となります．

後半の問題も同様にして解けます．ある適当な１日を選んだ場合の５人とも休日であるという確率は(80/365)×(90/365)×(100/365)×(110/365)×(120/365)≒0.0015（約0.15％←もっと下の桁までとると前半の問題とは違う値になります）なので，１年間で５人とも休日であると期待される日数は，(80/365)×(90/365)×(100/365)×(110/365)×(120/365)×365≒0.54（約0.54日）となります．

お礼

ありがとうございます。

＞期待される日数＿
私は“確率”に関してはほとんど無知でしたので
ネットで色々と調べたりしてたのですが、確率に関する表現って難しいものが多いですね。
0.15%と聞くとすごく小さい印象を受けますが、あくまでも「期待される日数」
と言うことを理解しておかなければならないのですね。

回答No.2

sunasearch

A,B,C,D,Eの５人の休みの合計が５００日のように固定の場合、
みんなの休みの日数の差が少ないほど、
５人全員が休みになる確率が高くなり、
全員の休みの日数が等しい時、その確率は最大になります。

いわゆる、相加相乗平均の関係から証明できます。

お礼

ありがとうございます。

改めて色々と計算してみると
日差が少ないほど確率が高くなる事が確認できました。