気体の状態

質問

物質量と温度を一定にしたとき、圧力［Ｐ］と圧力と体積の積［Ｐ・Ｖ］の関係を表したグラフ（横軸：Ｐ，縦軸：Ｐ・Ｖ）は，Ｐが０のときＰ・Ｖが０じゃないのは何故ですか？？答えの解説には，シャルルの法則に従うからＰ・Ｖは常に一定としか書いていなくてさっぱり分かりません。

回答No.9

mydummy · ベストアンサー

締め切らないでくれてありがとう。

> #4氏

方程式 pV=nRT (nRT≠0) が p=0 のとき成立すると仮定する。
p=0より pV=0　…… (1)
(1)より 0=nRT　…… (2)
nRT≠0より、(2)は矛盾する。
よって、pV=nRT(nRT≠0)はp=0のとき成立しない
（証明終）

fainman氏が正しかったのさ。

背理法の基礎の基礎……中学生レベルの証明じゃないか……なんで俺たちはこんなことに気付いていなかったんだ……極限とか……lim[x→n] f(x) と f(n) は異なる概念じゃないか……俺たちは……知ったつもりになっていただけなんだ……不完全な数学の知識しか持っていなかったくせに……俺たちは（数学的に）薄汚れたおっさんになっていたんだ……fainman氏は……若さゆえに……（数学的に）ピュアだったんだ……fainman氏のピュアさを求める態度を見て……思い出したんだ……俺たち薄汚れた大人が……あの日の純粋さを……ありがとう、fainman氏。今日から（数学的に）ピュアに生きていくよ。

あと#6はで、『「0×無限大の値はいくらか」。実は0でもなく無限大でもなく「特定の値」になることが多い』の部分は間違いなので印刷とかしちゃってたら赤線で消してください。
ってか『でも結局lim[p→0]の操作を無限回しても結局0にならないじゃん！嘘じゃん！』ってここですでに気付いてはいたんだな。

fainman氏、本当にありがとうございました。お世辞でもなんでもなくて、ありがとうごさいました。あなたの数学への純粋さが無ければ、私は自分の間違いを正すことも出来なかったろう。飽くなき真実への探究心は素晴らしい。これからも頑張ってください。では。

お礼

遅くなってすみません。本当に丁寧にありがとうございます！！！とても嬉しかったです。それと褒めて下さってありがとうございました！また何かあったらアドバイスよろしくお願いします。

回答No.8

mydummy

質問者無視の自己満足になりつつあるが、一応の回答。

[質問自体への答え]
P=0の時は特別だ、と考えて差し支えない。
つまりそのグラフはp>0(p≧0ではない)のとき成り立つとし、グラフの線はP=0のところまで及んでいないと考える。中学生で習う（かもしれない）数直線表現では、
●――――――
ではなくて、
○――――――
こっちのほうだと考える（今これ習う？）

理由
pV = nRT
を変形し、Vをpの関数として書き換えると、
V = nRT/p
と書き換えられ、この関数は、p=0において不連続である。

以上より考えると

#1 → 合ってる
#2 → 間違ったところはない
#3 → 合ってる（p=0について言及していないから）
#4 → 間違い。「0×無限大」とか極限の扱いがおかしい。
#5 → 統計力学の説明が微妙。流体力学のほうが……。
#6 → 自信満々に書かれた大嘘。死ね。俺。

どうせ理想気体とかアレだし、納得できないならもっと先の物理学で……って答えになってないな……

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90

お礼

たくさんの回答ありがとうございます！！印刷して参考にさせていただきます！できれば本も読んでみます。ありがとうございました！

回答No.7

mydummy

あー、ふと思ってしまったのだが、俺自信満々に大嘘書いてた。

lim[p→0] f(p)とp=0 f(p)って明らかに異なるな。

やはりとりあえずp=0の時は定義不能、としか答えようがないな。「あえて0で割る」も誤り。申し訳ない。己が無知を恥じる。
この式に関して、特別に敢えて定義するとすれば専門家の方よろしく……

あせって書いたが、教えてgooは、質問締め切られると、間違いを修正するのも出来ないのはまずいシステムだなあ……

回答No.6

mydummy

ん。たまたまこの時間は俺しかいないのか。
では極限の講義を始めようか。小学校のとき「0では割れない」と習ったはずだが、あえて0で割るとどうなるかというお話。

#1に書いた式を思い出そう。
横軸p 縦軸v のグラフを考えてみる。
ボイルの法則より
pv=C （Cは一定）
v = C/p
これはyamamura.ac.jpの3のグラフに該当する。

ここで、圧力をどんどん下げていって、0に近づけてみよう。簡単のためにC=1としてみようか。
(p=1のとき) v = 1 = 1 / 1
(p=0.1のとき) v = 10 = 1 / 0.1
(p=0.01のとき) v = 100 = 1 / 0.01
と、圧力を1/10にするごとに体積は10倍になる。
さて、圧力を1/10にするという操作は、無限回行うことが出来る。
0.0001
0.00001
0.00000......
圧力をひたすら1/10しつづけると、次第に0に近づいていくのが分かる。この状態を表す記号がlim[p→0]。
で、同時に体積はというと、圧力が1/10になるのと同時に、10倍される。圧力を1/10にするという操作は無限回行えるが、すると体積も無限回10倍される。0に近づくにつれ、無限に大きくなって……もし0まで無限に近づいたらどうなるか。無限大に大きくなる。

で、「0×無限大の値はいくらか」。実は0でもなく無限大でもなく「特定の値」になることが多い。なぜかって？。#5の三番目の段落を読んで考えよう。

まあ難しいよね。納得いかなかったらこのやり取り全部印刷して先生のことろに行って、「極限について教えてください！指導要領？そんな犬の糞ほども役に立たないものはごみ箱に捨てちまいな！」と微笑みながら言ってください。先生も喜んで教えてくれるはずです。

上の説明で、「でも結局lim[p→0]の操作を無限回しても結局0にならないじゃん！嘘じゃん！と思った君は賢い。野矢茂樹「無限論の教室」講談社現代新書あたりがお勧め。

回答No.5

mydummy

皆さん答えを書かれたようで……
では締め切られる前に補足説明。

圧力と物質量。教科書をよく見ると、分子が運動していて壁にぶつかる絵が書いてある。そうか、圧力ってのは分子が壁にぶつかることだったのか……ん？何でこの分子動いてるの？分子がある一部分だけ圧力があって、分子がぶつかっていない瞬間は圧力がなくなっててもいいんじゃない？
……そこに『統計力学』という新しい世界が待っている。あせらなくていい。大学は決して逃げたりしないッ。

そう、気体の圧力を上げていくと理想気体の状態方程式には従わなくなる。分子は気体になるよりも安定した、液体、固体、超臨界などの相をとり
……え？『超臨界』って何かって？あせらなくていい。大学は決して逃げたりしないッ。

あと無限という「記号」は不思議なもんだ。
lim[x→0] 1/x ……(1)
lim[x→0] 2/x ……(2)
感覚的には(1)も(2)も無限大になるのは分かる。では、(1)と(2)どちらが大きいでしょう？
……無限大は単純な「数」ではない。発散とか収束とか速度とか……あせらなくていい。大学は決して逃げたりしないッ。

追記。
「ご冗談でしょう、ファインマンさん」ってのは物理学者Feynmanの自伝のタイトル。そういうIDをつけたのも何かの縁。読んではいかが。分からなかったら大学になって読み直せばいいのですから。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%B3

回答No.4

thalamus

シャルルの法則は一定質量、一定圧力下での気体の体積[V]と温度[T]との関係を法則化したものです。ご質問では圧力の変化も考慮しなければならないので、シャルルの法則だけでは説明できません。これを説明するには「一定量の気体の体積は温度一定のとき圧力に反比例する」というボイルの法則も必用になります。この二つを組み合わせて＜ボイル・シャルルの法則＞と言います。＜ボイル・シャルルの法則＞を式で表すとＰ・Ｖ＝ｋ・Ｔ（圧力Ｐ、体積Ｖ、絶対温度Ｔ、比例定数ｋ）となります。でもこの式では気体の量（質量、モル数、分子数）については触れられていません。そこで登場したのが気体の状態方程式、ＰＶ＝ｎＲＴ（気体のモル数ｎ、気体定数Ｒ）です。これで気体の量がどうであってもその状態（温度、圧力、体積）の関係を示すことができます。
　さて、感覚的にＰ→0のときＶ→無限大のイメージができると思いますが、ご質問は気体の状態において0×無限大の値はいくらかという質問と置き換えてもいいかと思います。
　ここで先ほどの状態方程式ＰＶ＝ｎＲＴを思い出してください。物質量と温度が一定ということは、Ｒが定数ですからｎＲＴの値は常に一定です。すなわちＰ・Ｖがどんな値をとったとしても、その値は理論上ｎＲＴです。したがってＰが0のときも理論上Ｐ・Ｖの値はｎＲＴなのです。
　もし、Ｐ・Ｖが0だとすると、Ｒ≠0、ｎ≠0なのでＴ＝0と考えるしかなく、この場合は常にＰ・Ｖ＝0となってしまいます。Ｔ≠0とした場合は、ｎ＝0となるので、このときは、今まで存在していた物質が消えてなくなることを意味します。圧力がゼロになったからといって存在していた物質が消えてなくなることはありませんよね。
　したがって、Ｐが0のときでも物質は存在し続けるので、Ｐ・Ｖが0（すなわち物質量が0）とはなりません。

お礼

なるほど！！！ここにPV＝ｎRTですね！！！本当に参考になりました。ありがとうございます！！！

補足

それでは
http://www2.yamamura.ac.jp/chemistry/chapter2/lecture3/lect2032.html
のサイトの、２－３気体の状態方程式→３.気体の諸法則との相互関係→いろいろなグラフ→(４). 物質量と温度を一定にしたとき、圧力［Ｐ］と圧力と体積の積［Ｐ・Ｖ］の関係（横軸：Ｐ，縦軸：Ｐ・Ｖ） で、横にまっすぐのグラフが当てはまりますが，この時P＝0のことは例外として無視しても良いですか？というのは，PV＝P'V'の式を当てはめて計算してグラフを描くと，P=0の部分に対してはつじつまが合わなくなって・・・。P=0の時だけPV=ｎRTを考慮するということですか？なんかごちゃごちゃですみません。

回答No.3

shkwta

極限値で考えるとよいと思います。

lim[P→0] PV　または　lim[V→∞] PV　は？

(例）５年前にしたおならが、いまや地球の全大気に均等に広がっています。分圧はいくらでしょう…
さらに、
(例）宇宙空間で風船を破裂させたら、中の気体はどうなるのでしょう？

ところで、P→0　の極限を考えるのは、重要と思います。
教科書には、P と　PV/nT の関係をいろいろな気体について描いたグラフも載っていると思いますが、気体の種類に関係なく
lim[P→0] PV/nT = R

となります。気体定数は実は極限値なのでした。P→0の極限ではどんな気体も理想気体だというわけです。これを逆に書くと

T = lim[P→0] PV/nR

これで測定した温度が、“本当の温度”です。気体温度計の原理です。

お礼

おもしろい例えも交えて教えてくださって感謝します！ありがとうございました。

回答No.2

nikumaru1208

この法則が成り立つのは理想気体を対象としたときです．
あまりに圧力が低い場合や高い場合には成り立ちません．

圧力を下げていくと，体積は大きくなっていきます．
実際の気体は体積が無限大になるということはなく，ある一定量におさまると思います．
圧力が０という状況を作り出すことは不可能ですし，ご覧になった図のP=0はPがほぼ0という意味だと思います．

参考URL：

http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/exp/netuworld/syoutai/boisya.html

お礼

なるほど。ほぼ0と考えるのですね！ありがとうございました。

回答No.1

mydummy

ご冗談でしょう、ファインマンさん

予想ですが、それは中高生向けの教科書か何かで、p-pvのグラフは横一文字ではないですか？

もしそうだとしたら回答は以下：
「そのグラフの0点は特別。または定義不能」

理由
横軸p 縦軸v のグラフを考えてみる。
ボイルの法則より
pv=C （Cは一定）
v = C/p
ここで、p=0のときのvを求めよ。

とりあえずここでやめときましょう。いい思考実験になると思うし、数学の楽しさを体験できるでしょう。別にpv = nRT ただしn,Tは一定、で終了でもいいんですが。

実は専門家の問題で私が知識足らずだったら私の無知を恥じます。

参考URL：

http://search.goo.ne.jp/web.jsp?TAB=&MT=%A4%B4%BE%E9%C3%CC%A4%C7%A4%B7%A4%E7%A4%A6%A1%A2%A5%D5%A5%A1%A5%A4%A5%F3%A5%DE%A

お礼

(笑）ありがとうございました。0のときは特別なんですね！