内積の計算を教えて下さい。

質問

こんにちは。

次の問題文に「実際に計算してみましょう」と書いてあるのですが、
意味がわからなくて、計算することが出来ません。
解答があれば読んで理解できるかもしれないので、
解答を教えていただけないでしょうか。

「私達が物を運ぶ時、物が重いほど、または遠くへ運ぶほど、大きな仕事をしたと感じます。しかし、物理という学問では、仕事の定義を次のように考えます。
物体にベクトルa→で表される力が働いて、物体にベクトルｂ→で表される平行移動が起こったとき、内積a→b→をこの力のした仕事といいます。
さて、重いものを持ったまま平らな地面をどんなに歩いても、「物を持つ力がした仕事は0だよ」なんて言われたら、困りますね。実際に上の定義で計算してみましょう。」

とあります。「実際に上の定義で計算」したものを教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

takus69 · ベストアンサー

問題中にある通り仕事を計算する場合は内積を使います。内積の定義は「|a||b|cosθ」となります。
重力は地面の下向きにかかっており、地面に平行に力をかけても二つの力の角度は９０度になっており、「cosθ=0」となり、内積は０になりますね。
これが「実際に上の定義で計算」したものになります。

ついでに現実には、物を運ぶ時に重いと感じるのは、理想的な状態ではないからです。
力が完全に垂直になっていなかったり、摩擦があったり、揺れたり。。。
物理では図を描いて整理してみると、わかりやすい場合が多いですよ。頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます。

「物を持つ力がした仕事はゼロ」で…すか…？

力が完全に垂直になっていて、摩擦がなくて、揺れたりしてなくても、重いものは重いですよね。。。

むむぅ～…

回答No.7

Quattro99

ご質問にあるような場合、「物を持つ力がした仕事」はゼロで合っています。
これは仕事の定義の問題なので、「実際に上の定義で計算してみましょう」というのはちょっとおかしな話なのです。仕事の定義からその計算方法を考えると、ちょうと内積の定義と同じになるというだけなので、内積の計算をすることで仕事の定義を証明できるわけではありません。
ですから、「内積を計算してゼロになったから、ゼロなんだよ」と言われて納得できないのは当たり前とも言えます。

持っている力がした仕事がゼロというのは、正確に言えば「持っている力がした『物に対する仕事』はゼロ」ということです。物を持っていると重くて疲れるのは、人間がその姿勢を維持し力を出し続けるだけでも疲れるからです（このとき、人間が消費したエネルギーは、熱量に変換されているのだと思います）。

エネルギーに置き換えて考えてみると、物を持って等速で移動している間は、物の持つエネルギーには変化がありません。物はどこからもエネルギーをもらっていないわけで、言い換えれば仕事をしてもらっていないということです。
物が仕事をしてもらうということは、その前後でエネルギーに変化があることになります。例えば、物を上に持ち上げれば、位置エネルギーが増えます。横向きに力を加えれば、加速しますから運動エネルギーが増えます。いずれの場合も物の移動の方向に力が加わっていることがわかると思います。

お礼

理解が深まりました。どうもありがとうございました。

回答No.6

kansai_daisuki

※以下は証明でもなんでもなく、単なるイメージ的な理解を助けるものなので、何らかの問題の証明には使わないでください。

a→b→=|a→||b→|cosθ
のとき、
大きさに方向は無いのでありえないけれど
(内積のa→)と|a'→|が平行かつ同じ大きさであり、
(内積のb→)と|b→|が平行かつ同じ大きさであるとすると、
(内積のa→)は|a'→|に、
(内積のb→)は|b→|に、置き換えることができる。

すると、
a→b→=|a→||b→|cosθ
⇔|a'→||b→|=|a→||b→|cosθ
⇔|a'→|=|a→|cosθ
⇔cosθ=|a'→|/|a→|
⇔cosθ=(内積のa→)/|a→|
ということになる。

∴a→b→=|a→||b→|cosθは、
a→とb→を同じ方向に向かせることと同義であり、
ベクトル（方向のみ）を消滅させることとなる。
よって、これはスカラー積と呼ばれる。

お礼

理解が深まりました。どうもありがとうございました。

回答No.5

kansai_daisuki

No.3の者です。

（分かっていながら）質問とずれていたので、今回は解答しますと、、、鉄アレイを片手に持って腕を垂らしたままで全力ダッシュしているとき、鉄アレイはどうなるでしょうか？そう、人の胴体よりも多少後ろになり、手が鉄アレイを引っ張る形になりますよね。つまり、重力以外に、手が鉄アレイを引く力と、人が前進する力がありますよね（摩擦力を除く）。つまり、水平方向にも力は働きます。よって、力と距離の内積は０にはならないと思います。ここで、人が前進する力を０にすれば、内積が０になります。ここで、前進する力を０にするには、等速で走り続けろということです。現実的にはありえないですが、とりあえず、このときのみ内積は０です。

∵a→b→=|a→||b→|cosθ
=|a→||b→|cos90°
=|a→||b→|×0
=0

　もう高校物理や大学の講義などの理論の世界では仕方ないですが、理想の世界とはすごいですね。ノイズも何も無いとは。。。（演習や実験や研究のときを除く。）

お礼

理解が深まりました。どうもありがとうございました。

回答No.4

corp

誤解を恐れずに書くならば、こういうことじゃないでしょうか？

問題文の内容を定義にあてはめてみると
「重い物体を持ち（ベクトルa→）、重い物体に持ち上げる方向の移動（ベクトルb→）が起こったとき、内積a→b→をこの力のした仕事」ということになります。

しかし、問題文にあるように「重いものを持ったまま平らな地面をどんなに歩いても」持ち上げる方向への移動はしませんから、「物を持つ力がした仕事は0だよ」ということになります。

お礼

理解が深まりました。どうもありがとうございました。

回答No.3

kansai_daisuki

■公式の解説：
質問に沿う内容かは不明ですが、公式の解説（アドバイス）をします。

a→=(Xa,Ya)
b→=(Xb,Yb)
とおくと、
a→b→=|a→||b→|cosθ
という式があり、これを内積の公式といいます。

■追伸：
　高校数学の公式は、何でも証明してみると面白いですよ。
家での勉強時間の合間の小休憩（暇つぶし？）にはもってこいです。
ちなみに、内積の公式の導出手順は以下の通りです。

１：任意の三角形を作図し、余弦定理の公式を証明します。
２：次に、その三角形のある角をθとおき、
　　それに接する２辺を、それぞれa→,b→とおきます。
　　すると、θの対辺は(a→ － b→)となりますね。
３：[２：]の変数を[１：]の余弦定理の公式に代入すると、内積の公式の出来上がり！

カンタンですね！
単に公式を丸覚えするよりも、意味を理解した上で覚えれば、解ける問題は倍増です！

これで、この公式は、もう貴方のものです！

お礼

ありがとうございます。

ちょっと違うような・・・

その書き方ですと、どれを前程としているのか読み取ることは不可能だと思います。どのようにも解釈できますです…

補足

ありがとうございます。
＞a→=(Xa,Ya)＞b→=(Xb,Yb)＞とおくと、＞a→b→=|a→||b→|cosθ
＞という式があり、これを内積の公式といいます。
a→b→=|a→||b→|cosθは内積の定義式ですよね。
ご存知の通り、定義は証明不可能なので、公式と言うのは変ですよね。となると、ここで証明と仰ったのは内積の２つの式の相互関係のことを仰っているのでしょうか？
内積で「あえて」公式と呼べる「場合もある」ものは
a→b→＝a1b1+a2b2
だけであると思います。この関係式がa→b→＝|a→||b→|cosθと余弦定理を用いて示すことができるものであり、したがって、逆の操作でa→b→＝|a→||b→|cosθをa→b→＝a1b1+a2b2示すことができることを考えてか、（それでも教科書によっては、ほとんどの場合がa→b→＝|a→||b→|cosθを定義としていますが）a→b→＝a1b1+a2b2を定義としている教科書もまれにあるようです。したがって、証明というよりは相互関係を述べたことになりますよね。よく見てみますと、
＞３：[２：]の変数を[１：]の余弦定理の公式に代入
の所で内積の定義式を使用していることになり、この時点で循環論法に陥っているのではないでしょうか…？

回答No.1

Quattro99

ものを持つ力は垂直上向きで、移動方向は水平方向ですから、間の角は90°です。
ですから、内積(A,B) = ||A|| ||B|| cosθのcosθがゼロになるので、内積はゼロ、つまり、仕事はゼロということになります。

お礼

回答ありがとうございます。

「物を持つ力がした仕事はゼロ」で…すか…？
むむぅ～…