スリットを通った光の振幅について

質問

新・物理入門を勉強しています。ｐ２５０の式の導出が理解できません。・・・A(0)=Naで、A(θ）＝A(0)｜ｓin{NπD(sinθ）/λ｝|/|Nsin{πD（ｓinΘ)/λ}より、Nｄ＝D(一定）のまま、ｄ→0、N→∞の極限をとりA(θ）＝A(0)｜ｓin{πD(sinθ）/λ｝｜/｜πD（ｓinΘ/λ）｜を
導いていますが、N→∞の極限をとっているのにA(0)がそのままなのが理解できません。
ご教示をお願いします。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

>>　明るさが穴の数に線形比例な範囲の時使える
Ｎがどの程度まで使えるとか <<

　失礼、別の事と混同してました、Nに関しては近似ではありません。この問題の場合は、D=Nd=一定だから d がスリットの開口幅と等しくなる N が上限です。Nが上限のとき 格子状の穴から 幅がDの単独の穴に急変します。
　この式に至るまでに用いられてる近似は、dがスクリーンまでの距離より十分に小さい事です。Nが少ない場合を考えればDもスクリーンまでの距離より十分小さい事、です。（フラウンホーファ近似。）

>>　A(θ) のA(0)＝Ｎａの部分はＮの関数、｜ｓin{πD(sinθ）/λ｝｜/｜πD（ｓinΘ/λ）｜の部分は定数です。ということはA(θ)はＮの正比例関数ととらえてよろしいでしょうか。 <<

　です。上記のNの上限より小さい範囲では線形比例です。
（余談ですが；エネルギは振幅A(θ)の2乗なので N^2 に比例します。）

補足

ご回答ありがとうございます。問題設定がちょっとちがう様なので、何度もすいませんがご指導おねがいします。質問「単スリットの回折：問題設定、幅Ｄの１本のスリットＡＢに垂直に入射する平面波をかんがえる。・・・、スリット上にＮ個の点波源がｄ＝Ｄ/Ｎの間隔でならんでいるとし、そこからじゅうぶん離れたスクリーン上の１点Ｐ(スリットから角度Θの方向）に来る光に着目する。（途中略）・・・、Θ→０よりA(0)=Naを導き、振幅をA(θ）＝A(0)｜ｓin{NπD(sinθ）/λ｝|/|Nsin{πD（ｓinΘ)/λ}この結果は有限個の波源からの波の重ねあわせだが実際には無限個の波源があるのだから、ここでNｄ＝D(一定）のまま、ｄ→0、N→∞の極限をとりA(θ）＝A(0)｜ｓin{πD(sinθ）/λ｝｜/｜πD（ｓinΘ/λ）｜を
導いていますが、N→∞の極限をとっているのにA(0)がそのままなのが理解できません。」
ご教示をお願いします。

回答No.3

Teleskope

拝見しました、はは、単スリットでしたか。θとΘが見えたので早とちりで勘違いしてました、すみませんでした。
　単スリットでしたら、シンク関数の前に付く係数 A(0) は N ではなく 幅 D と a の積でないと変ですね。それに更に スリット中央ラインからのPの横ズレ距離に応じた振動項が掛かります。（この辺の詳細は光学の専門書をご覧ください。単スリットのフラウンフォーファ近似です。）
　ただ、よくある書き方ですが 著者の頭の中では N→∞ 後の A(0) は途中の A(0) とは別のつもりなのかもです。

お礼

何度もご指導を頂きありがとうございました。他の本も調べて考えましたが理解できません。また、質問させてもらいますが、また、ご指導を宜しくお願いします。

回答No.1

Teleskope

A(0)=Na にNが入ってるから、スリット数が増えればA(0)も大きくなるでしょ？ aはたぶんスリット1個の光の振幅ですよね…。たぶん、こんな答を欲してるんじゃないんですよね？

　物理と数学の違い；教科書的なたいていの物理量は有限です。イメージ的には 暗い部屋の壁に微細な穴がN個ある、室内の明るさイコール入ってくる全光量はNに比例、しかしNが巨大になって壁全部が穴になっても 外界の明るさになるだけで無限大にはなりません。
　それに A(θ)の式自体が近似（明るさが穴の数に線形比例な範囲）ですから、Nが増えて明るさが飽和し始める領域では使えないです。

補足

ご回答ありがとうございます。明るさが穴の数に線形比例な範囲の時使えると理解できますが、式A(θ）＝A(0)｜ｓin{πD(sinθ）/λ｝｜/｜πD（ｓinΘ/λ）｜のA(0)＝Ｎａの部分は、Ｎの関数、｜ｓin{πD(sinθ）/λ｝｜/｜πD（ｓinΘ/λ）｜の部分は定数です。ということは、Ｎの正比例関数ととらえてよろしいでしょうか。また、Ｎがどの程度まで使えるとかわかっているのでしょうか。