４人のうち３人が同点で終わる場合（長文です）

質問

お世話になります。

以下のルールで4人で、あるゲームを行った際に、負けた3人の点数が同点の場合があるか自分なりに考えました。これで合っているかご教授をお願いいたします。

『ルール』
・一番最初に合計点が10点以上となったらその人が優勝者（ただし、11点と10点の者が出たら、11点の者が優勝者）
・1ターンで、1位は2点、2位は1点、3・4位は0点を加算
・ターン中に10点以上の者が出ても、そのターンは順位が決定するまで行われる

『僕の解答』
・A,B,C,Dの4人のうちAが優勝するものとして考察する
・優勝時の点数として、10か11点が考えられる

１．10点の場合
・10点取るには、1位・2位の順番で、回数が(5,0)、(4,2)、(3,4)、(2,6)、(1,8)、(0,10)
・上記で(0,10)の場合でも他者が10点以上にならない場合があるので、すべてを考察する
・それぞれ3人が得る合計点数は上記の表記回数順に5,8,11,14,17,20点であり、すべて3人で等分は不可
∴10点での場合はない

２．11点の場合
・11点取るには、1位・2位の順番で、回数が(5,1)、(4,3)、(3,5)、(2,7)、(1,9)
・上記で(1,9)の場合でも他者が10点以上にならない場合があるので、すべてを考察する
・それぞれ3人が得る合計点数は上記の表記回数順に7,10,13,16,19点であり、すべて3人で等分は不可
∴11点の場合でもない

他に簡単なやり方があればご教授お願いいたします。

回答No.1

tkm · ベストアンサー

あまり自信はないのですが…

xnynznさんの
＞3人で等分は不可
というのをみて「なるほどー」と思いました
これをヒントにこんな解答でもいいのでは？と思いましたので書いておきます

(1)
1回のターンで必ず順位が決まるので，1回のターンで全体の点数は3点ずつ増える

(2)
よってｎ回目では全体の総得点は3ｎ点である（ｎ：自然数）

(3)
このときに仮にＡが勝ったとするとＡの得点は10点か11点
よって3ｎからＡの得点を引いたものが、のこり3人の総得点である。これは
　　　　　3n-10　　か　　3n-11
のどちらかである

(4)
残りの3人が同点ということはこれが3で割れればいいが
　　　　　3n-10＝3(n-3)+1
　　　　　3n-11＝3(n-3)+2
となりどちらも3で割り切れません

よって勝負がついたときに他の3人の点数が等しいということはありえません

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

＞よってｎ回目では全体の総得点は3ｎ点である（ｎ：自然数）
そうですね。確かにこのように考えていけますね。勉強になりました。

自分でツッコミますが、質問で書いた解答は、Aが3・4位の場合があることが抜けていました。それでも１ターンの3点が増えるだけなので、結局は無理なのかなぁと思いました。

回答No.3

yaksa

ハンゲームはこのルールですね。
でもハンゲームは、あがりが１０点ではなくて、４点・６点・８点・１２点・２４点のどれかなので、３人が同点数になる場合もあります。実際に８点のゲームとかで見たことありますし。
質問と関係ない余談でした。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ハンゲームですか。やったことないです(^^;)
今度やってみたいと思います。

回答No.2

eatern27

２人が１０点(以上)で並んだ場合はどうするのですか？

もし、

「誰かが単独で一位になるまで４人でゲームを続ける」

というルールなら、残りの３人が同点で並ぶ事があるような気がしますが。。。

それ以外のルールなら、xnynznさんの証明でも、#1さんの証明でもいいと思います。

お礼

ご指摘ありがとうございます。

補足

＞２人が１０点(以上)で並んだ場合はどうするのですか？
大事なルールを忘れていました。たとえばAが８点、Bが９点で、Aが次ターンで1位、Bが2位の時は10点で並ぶんですよね。

この場合には、Aが優勝者（最終ターンで先に10点になった者が優勝者）です。

実は、ケータイゲームの大富豪をやっていて、コンピュータがあまりに弱いので、点数を平等にできないものかと思って考えました。