恒等式で解いてはいけない理由は？

質問

xについての2次方程式
(x-1)(x-2)+k(x-a)=0
がすべての実数kに対して実数解をもつように、実数aの範囲を定めよ。

という問題なのなのですが、kの恒等式と考えて
(x-1)(x-2)=0
x-a=0
からa=1, 2で間違っているのは何故でしょうか？

xの２次方程式に変形して判別式からaの範囲を求めるやりかたでaを求める方法で
答えは
1≦a≦2でした。

お手数ですが、お願いします。

回答No.8

quantum2000 · ベストアンサー

アドバイスの追加です。いくつか気のついた事を。

(1) 方程式と恒等式について。
　　　　方程式は「特定の」値に対して成り立っている式
　　　　恒等式は「すべての」値に対して成り立っている式
というふうに、まったく別物のような感じがしますが、１つの変数についての方程式が、（それを解いたら、解が定義域全体となって、）結果としてその変数についての恒等式にもなっている場合があります。（例えば、ｘを実数として ｜ｘ｜ ＝ √（ｘ＾２） とか）

(2) 多変数の恒等式について。
与えられた式が多変数を含む場合の恒等式の定義を、正確には知りません。多変数の中のある１つの変数についての恒等式であるという場合、それ以外の変数は変化してもいいのでしょうか、いけないのでしょうか？
今回問題にしている式は、変数としてｘとｋとａがありますが、この式を「ｋの恒等式である」と主張する場合、残りの変数ｘやａについてはどのように捉えるべきでしょうか？
つまり、今回の式では、
　　　　(i) 「すべてのｘ，ａ」について、「すべてのｋについて、与式が常に成り立っている」
のか、(ii) 「ある特定のｘ，ａ」があって、「すべてのｋについて、与式が常に成り立っている」
のか、(iii)「すべてのｋ」について、それぞれに「ある特定のｘ，ａ」があって、与式が常に成り立っ
　　　　　 ている
のか。
普通に考えると、「恒等式」というのですから、(i)のような気がします。しかし今回の式の場合は、No.５さんが述べているようにｘの方程式で、「すべてのｋについて、実数解ｘがある」というのですから、(iii)だと思います。
つまり多変数の場合は、むやみに「○○についての恒等式である」というのは、問題がある気がします。

(3) 式変形について。
上記の(2)より、もし(iii)のような解釈だとすると、

今回の式、（ｘ－１）（ｘ－２）＋ｋ（ｘ－ａ）＝０　について、
　　与式は、ｋの恒等式だから、
　　（ｘ－１）（ｘ－２）＝０　かつ　（ｘ－ａ）＝０
　　ゆえに、ｘ＝ａ＝１，２
というのは、間違っていますし、
　　与式は、ｋの恒等式だから、例えばｋ＝３，７を代入して、
　　（ｘ－１）（ｘ－２）＋３（ｘ－ａ）＝０　　・・・Ａ
　　（ｘ－１）（ｘ－２）＋７（ｘ－ａ）＝０ 　・・・Ｂ
　　としても、これらの式の中のｘは、ＡでのｘとＢでのｘとでは、同じ値のｘとは必ずしも言えない
　　ので、これより、
　　－４（ｘ－ａ）＝０
　　だから、結局、
　　ｘ＝ａ
　　となる、
とは言えないのではないでしょうか。
言えるとしたら、
　　もし「特定のｘについて、与式が恒等式になる」ならば、ｘ＝ａでなければならない。
ということではないでしょうか。

回答No.9

rinri503

ＮＯ５ですが゛、この問題は、実数　ｋについて恒等であるための　ａのとる範囲を求めよ。ただしｘは実数
というのと同じことではないでしょうか。ただ解き方の誘導としてｘの実数条件から解きなさいといことだと思うのですが

グラフを書いてみても（ｘ－１）（ｘ－２）のグラフは固定されますが、ｋ（ｘ－ａ）はａを固定したとしても、平面すべてをとおることになりますから　ｋについては
恒等式だと思いますが　解き方はまあ普通ｘの実数条件からはいりますけどね。　しかしｋの恒等式と考えても、おかしくはないと思いますが

回答No.7

rinri503

ＮＯ５ですが回答者同士が議論するのは禁止されていますが異論があるので回答します
　　前の方も書いておられるように
　　方程式とは、特定の値に対し成立するもの
　　恒等式とは、すべての値に対し成立するもの
　上記の問題については、これも前の方が解の公式を書い　ておられるから、よく見てください

　　ｘの解の中にｋが入っています。ｋはすべての実数を　　とりますから、それにつれてｘもすべての実数をとり　　ます。問題には方程式と書いていますが、これは、恒　　等式です
　　質問者は、今回の場合とき方が係数比較で解いたのが
　　まずかったというだけ

　　ＮＯ３の方の言っておられる意味がわかりにくい
　　こういうように書いてあれば、それが正解ですの
　　こういうようにの意味がわかりづらい

回答No.6

quantum2000

気のついたことを２つ述べたいと思います。

(1) まず、「恒等式」を使った解き方について。
これはNo.１さんが述べているように、
　　α＋ｋβ＝０
がｋについての恒等式のとき、
α，βが定数であれば（α，βの値がそれぞれ一定であれば）、
　　α＝０ かつ β＝０
が言えます。（今は、α ＝（ｘ－１）（ｘ－２），β ＝（ｘ－ａ））

しかし、今回ご質問の場合は、ｋの値によって実数解ｘの値が変化してしまうので、αおよびβが定数にならず、この推論は成り立ちません。
実際、最初の式をｘについて解くと、
　　ｘ＝（１／２）〔３－ｋ±√｛ｋ＾２＋（４ａ－６）ｘ＋１｝〕
となり、ｋの値によって変化してしまいます。（ａの値を上手く変化させれば（ｘ－１）（ｘ－２）の方の値は定数にできるかもしれませんが、そのときは（ｘ－ａ）の方の値が定数になりません。）

ですから、与式がｋについての恒等式である、という事からはこの問題は解けません。

(2) この問題を図形的に見直してみます。
与式を
　　（ｘ－１）（ｘ－２）＝－ｋ（ｘ－ａ）
と変形し、
　　ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２） ・・・(i)
　　ｙ＝－ｋ（ｘ－ａ）　　　 ・・・(ii)
という２つの関数を考えると、
　　(i)　は、ｘ切片が１と２の２次関数（放物線）
　　(ii) は、ｘ切片がａの１次関数（直線）
だから、求める実数解ｘはこの２つのグラフの共有点（のｘ座標）ということになります。

ここで、－ｋは直線(ii)の傾きを表していますから、すべての実数ｋ（すべての直線の傾き－ｋ）に対していつでも、これら２つのグラフの共有点が（少なくとも１つ）存在するためには、直線(ii)のｘ切片ａが１から２の間にあればよい訳です。つまり、
　　１≦ａ≦２

なお、グラフで考えると、ａの値が １≦ａ≦２ 以外のときは（いつでも）、ｋの値によって、実数解ｘが２つある場合と１つしかない場合と全くない場合が出てきます。

逆に、０以外のどんな実数ｋについても、ａの値を上手く選べば、解ｘを２つにしたり１つだけにしたり無くしたりすることができます。

また、No.３さんが述べているように、すべてのｋについて一定な解ｘが存在するためには、ａ＝１ または ａ＝２ であり、そのときに限ります。なおこのとき、その一定な解ｘは、ａ＝１のときはｘ＝１の１個に、ａ＝２のときはｘ＝２の１個にそれぞれ限ります。

回答No.5

rinri503

まず普通の考え方で説明しますと
　　問題にｘの２次方程式とまずかかれています
　　　他の文字　ｋ，ａは、係数または定数扱いになりま　　　す。したがって　ｘの実数条件が最優先されます

次に　あなたのすべてのｋについてだからｋの恒等式と考えてはどうかという問題ですが別に間違いではありません
ただ解き方が長くなります
　　恒等式の性質は、この場合ｋは１次ですから任意の
　　２数を代入して成立する条件を求めます
　　　（次数＋１だけの任意の数を代入して成立すること　　　　が恒等式の条件）
　　(x-1)(x-2)+k(x-a)=0　をｋについて整頓して
　　（ｘ－ａ）ｋ＋(x-1)(x-2）＝０

　　ｋ＝５，３を代入します
　　　（ｘ－ａ）ｘ５＋(x-1)(x-2）＝０　・・（１）
　　　（ｘ－ａ）ｘ３＋(x-1)(x-2）＝０　・・（２）
　　（１）－（２）より
　　　　（ｘ－ａ）ｘ２＝０
　　　　　∴　ｘ＝ａ　のとき常にｋについて恒等である
　　ところで　（ｘ－ａ）ｋ＋(x-1)(x-2）＝０　
　　ｘは、実数だから
　　　　ｘ＾２－（３－ｋ）ｘ－ａｋ＋２＝０において
　　　　判別式≧０より　　２≧ａ≧１
　　　　と結局　ｘの実数条件が必要になってきます
また　あなたの係数０で解くのも恒等式の解き方ですが
　　あくまでも、ｘ，ａが係数、定数の場合用いることができ、この場合ｘは、実数全部をとれる変数ですから
まずかったと思います

回答No.4

graduate_student

まず恒等式とは何か．それを理解するためには「等号」を知らねばならない．

次の三つの等号はそれぞれ意味が異なる．

(1) x^2-3x+2=0
(2) x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
(3) y=x^2-3x+2

自分でその違いが説明できますか？

(1) の等式はxに特定の値を代入したときのみ成立し「方程式」といわれる．
(2) の等式はxに任意の値を代入したとき成立し「恒等式」といわれる．
(3) の等式は y が x2-3x+2で定まる x の関数であること， あるいは x2-3x+2 を y と置いたことを意味している．また, x と y の等式と見れば一定の の値に対してのみ成立する 一種の方程式(不定方程式)でもある．

このように等号はいろんな意味があるので，常に意識して等号の意味を考えなければならない．

回答No.3

shkwta

ついでですが、もし

「xについての2次方程式
(x-1)(x-2)+k(x-a)=0
がすべての実数kに対して『同一の』実数解を『少なくとも１つ』もつように、実数aの範囲を定めよ。」

という問題であれば、お書きの答が正解です。

元の問題文との違いに注目してください。

回答No.2

gamasan

実数解を持つ　というのは
2次方程式の話です
基本を思い出しましょう
グラフ　でＸ軸と放物線のグラフが　交わるか
接するか　離れてるか　です

ですから　展開して　判別式を使うんですよ

回答No.1

shkwta

任意の実数kについてそれぞれxが実数になればそれでいいのであって、xが決まった値をとることまで要求しているわけではありません。つまり、kごとに、異なったxがあっていいのです―実数解でさえあれば。したがって、恒等式ではありません。