双曲線関数が三角関数より本質的という意味

質問

数学の先生が雑談の中でこう言っていましたが、最近三角関数より指数関数のほうが本質的というご教示をいただいたので、このこととも関係があるのかと思いました、できる限りやさしくご教示いただければ自分でも考えてみたいと思います。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

双曲線関数を三角関数で表すと
cosh(iz)=cos(z)，sinh(iz)=i*sin(z)
となりますが，逆に三角関数を双曲線関数で表すと
cos(iz)=cosh(z)，sin(iz)=i*sinh(z)
となります。
三角関数では
(cos(z))^2+(sin(z))^2=1
ですが，双曲線関数では
(cosh(z))^2-(sinh(z))^2=1
となります。どれも同じような形式ですから，双曲線関数と三角関数とでは，どちらがより本質的ということはないと思いますよ。

お礼

ご教示をもとに自分でも勉強してみたいと思います。

回答No.2

jcpmutura

三角関数は虚数を指数とする指数関数で

e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)
cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)

のように定義しますが、

双曲線関数は実数を指数とする指数関数で

cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2
sinh(x)=(e^x-e^{-x})/2

のように定義するので、

その先生は
虚数より実数を指数とした方が(個人的に)
本質的
(個人の好み)
だと思ったのでしょう

お礼

やはり数学的というよりどちらが好きかどうかということですね。

回答No.1

catpow

「私は、双曲線関数が三角関数よりも好き！！」って個人的な趣味の話ではないですか？

お礼

数学的な意味ではないということですね。