視野は３Ｄに見えて実際は２Ｄ。４Ｄの人は視野が３Ｄ？

質問

この質問が数学のカテゴリーで良いのか分かりませんが、
今まで４次元について、行列や座標、時間の概念で考えてきたと思います。今回は、もっと具体的にイメージできる回答を求めています。
そこで思うことがあるのですが、視野が３Ｄなら４Ｄが認識できる？と思うのです。
視野が３Ｄというのは、どう考えれば良いのか分かりません。４次元についての画期的な考え方も含めてお願いします。

回答No.15

gronith

NO.11です。
まず3Dという体系について。
現実世界の中で場所や形を定義する時に最低限必要な数値、座標ですね。直交する線上の座標が3つあれば、ある点と原点との関係を示す事ができる、3つ未満だと残りの座標が不確定で浮動的になり、点を特定することができなくなります。別の体系の、経緯度を使えば、直交する軸との成す角度が2つと、原点からの距離があれば、これもある点と原点との関係を示す事ができる。地球上である特定の位置を示す場合はこれを利用して、緯度と経度と、あと地球の重心からの距離でわかる、逆に地球上で3Dの3つの座標を使うとかえって分かりにくくなってしまいます。
次に2Dの視野について。
もし、体と頭を固定されて動けない状態で、視覚以外の触覚、聴覚を失くし、且つ片方の眼しか使えなかったとしたら、完全な2Dの視野になり、3Dを認識する事ができなくなるでしょう。たとえ物が動いたりして視界に変化が起こったとしても、テレビの映像をみるような感じと区別はつかなくなるはずです。
次に体と頭が動けるようになったとします。そして使える片方だけの眼をデジタルビデオカメラと仮定します。体を動かしてデジタルビデオカメラの映像をPCモニターに映すと、2D画像がフレーム1枚１枚変わっていきます。この映像の一連性をPC（映像ソフト）は理解する事ができません。なぜならX×Yのピクセル1つ1つの情報がフレーム毎に関連性も無く、めまぐるしく変わっていくからです。でも3D人間にはそれに一連性を見い出す事ができます。これが3D人間のすごい？ところです。
これで1つ次元を上げてみると、X×Y×Zのピクセル（ボクセルだったかな？）1つ1つの情報がフレーム毎に関連性も無く、めまぐるしく変わっていきます（ちなみに認識しているのは3D物体ではなく3D立体像です）。4D人間にはそれに一連性を見い出す事ができます。これが4D人間のすごいところです。
ボクセル？単位で関連性も無く、めまぐるしく変わっていく様子は、想像できなくはないし、PCでも表現できるでしょうが、現実（3D空間）で起こったらとんでもない事です。つまり4D人間の3Dと、3D人間の3Dは一致しない、一致するとすれば3D人間にとっての写真や絵画、もしくは映像等のような限定された扱いになると思います。
3D人間の2D視野とは主観的にみてX軸、Y軸、Z軸のうち2軸を選び、残りの軸を奥行きとします。4D人間が3D視野ならX軸、Y軸、Z軸、そして4次元目の軸のうち3軸を選び、残りの軸が奥行きとなり、やはり4次元目が何かを定義しなくてはならなくなるのではないでしょうか。
感覚による認識は他の人と共有することができません。例えばAさんはレモンが黄色に見えるけど、Bさんはレモンが青色に見え、その青色をBさんは「黄色」とよんでいる、かもしれないということです。4Dを認識できる人を10人集めても、10人全員が同じような4Dを認識をしているとは限らないし、証明することもできません。それに3D人間が4D認識できるようになったとしてもその4次元軸の方にいけないという苛立ちにかられると思います。でもそれが3D人間のサガなのでしょう。

回答No.14

kaitaradou

＃１２です。たびたびごめんなさい。４本の線分に番号をつけて第４次元は赤で描いてみるというのはどうでしょうか。３次元の空間は黒い線分、時間だけは赤い線分で表して赤い線分をグルっと目で追うと、４次元の図形にならないでしょうか。

回答No.13

pennteru

否定的な回答をして申し訳ないのですが、そもそも四次元とは存在しないものなのではないでしょうか？　四次元があるなら、五次元も六次元もありそうなものです。三角形の第四角目を探しているような気がします。

ど素人なのであまり気にしないで下さい。

お礼

ご回答ありがとうございました。
数学上では、無理なくｎ次元が考えられるので、存在していると思いたいです。人間の感覚では無理かも知れませんが、チャレンジ精神を持ってなんとか実現したいと思ってます。

回答No.12

kaitaradou

＃８ですが、なつかしくなって（？）つづきのようなものを書きたくなりました。要旨は変らないのですが、正５角形の各頂点を互いに線分で結んだ時に出来る新しい交点は初めからあった５つの頂点と同じ資格を持った頂点として扱ってください。要するに各点から４本の線分が出ているというのが４次元の立方体の２次元における展開図になるのではないかという事です、くりかえしになりましたが。

お礼

ご回答ありがとうございました。
確かに４Ｄの展開図は、４つの３Ｄによって囲めるように展開図が配置されますが、この３Ｄ展開図を２Ｄ展開図にすると、頂点から線分もしくは辺が４本出ているということですね。理屈はだいたい理解してるつもりですが、やっぱりどうしても完全な３Ｄの視野を体感したいので、この点についてのヒントになる回答をもう少し待ってみたいと思います。

回答No.11

gronith

この問題の上で「眼」の持つ役割について考えてみました。「眼」とは自分が動く方向に何も無いかを知る為の器官だと思います。
自分がもし2D人間で、紙の上の迷路を、スタートからゴールに行くためには1Dの視野があればいい。それで自分の通り抜けられる隙間の方向が把握できるから。
3D人間（普通の人間ですね）なら縦の概念がプラスされるから、自分の通り抜けられる隙間の方向を把握するには2Dの視野があればいい。
4D人間ならさらにもう1つの軸の概念がプラスされるから、自分の通り抜けられる隙間の方向を把握するには3Dの視野があればいい。
自分の通り抜けられる隙間というのは、自分と同じ次元の空間じゃないといけませんが、それを把握するには1つ下の次元を認識できる「眼」で十分ということですね。
もし3D人間に3D認識できる能力があったら…、ちょっとSFチックな話で、質問の主旨とも異なるのですが、超能力でテレポーテーションってありますよね、瞬間移動というやつです。これがもしできるとしたら、3D認識できる能力がないとダメなんじゃないかと。移動する先に障害物があるといけないけれど、それは「眼」だけでは確認できないからです。
4D人間は瞬間移動はできないと思いますが、普通に移動するだけで3D人間の眼には瞬間移動ととれるかもしれません。なにより、視野レベルで3D認識するのだから本当にスケールが大きいですよね。
答えになってなくて、すみません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
そうですよね。眼ではなく、心なら4Dは認識できると思いました。
瞬間移動に必要な視野は3D。障害物があっても、4D人が普通に移動するだけで、3D人の眼には瞬間移動ととれる、とか。実に明快で面白い考え方ですね。
現に、4Dを認識できる人が存在することが知られているので、私も認識したいのですが、その方法が分かりません。たくさん回答してもらっているのに、未だ粘るのは気が引けますが、もう少し待ってみたいと思います。

回答No.10

gronith

No.9です。
ずっと考えていて違和感を感じてた事があって何かと思ったら、そもそも人間の眼は完全な2Dを認識しているわけではないんじゃないかと思えてきました。
もし完全な2Dなら像は平行投影で見えるはずなんです。でも実際、眼は球形をしていますよね。1枚の平面、例えば大きな絵画を見たとしても、中央や端に、眼からの距離に差ができて、認識する大きさも違ってきてしまいます。逆に眼から等距離になるような物体を持ってくると凹レンズみたいな物になってしまって、これは客観的にみたらやっぱり3Dになるのではないかと。
つまり、人間が見ているものは疑似2Dで、だからこそ3Dを認識できるんだと思います。

お礼

ご回答ありがとうございました。
絵画を見ている時点で、3Dを見ていると思います。絵画と眼に距離がある為、絵画が小さいと感じませんが、遠近感によって端の方が小さくなっていきます。歪みですよね。とりあえず、2Dは完全に認識できる？と思いますが、確かに2Dを見ている時点で歪みが生じています。これは、2D(絵画)が3Dの中に存在しているからだと思います。このことから、人間の眼では3Dを完全に認識できないということが言えます。そこで、4Dを認識するには完全な3Dの視野が必要と思われます。今回の質問は、この完全な3Dの視野をどうすれば実現できるのか？というものです。

回答No.9

gronith

数学は高校レベルのド素人なのですが、ちょっと考えてみました。
まずx軸上に点があって、そこにy軸の概念ができて、yの方向にいくらか点が移動したとすると、元のx軸上（1次元）に点が無くても、点自体は存在する、これが2次元ですよね。
更にそこにz軸の概念ができて、zの方向にいくらか点が移動したとすると、元のxy平面上（2次元）に点が無くても、点自体は存在する、これが3次元ですよね。
これを踏まえると、更にそこにa軸（仮）の概念ができて、aの方向にいくらか点が移動したとすると、元のxyz立体上（3次元）に点が無くても、点自体は存在する、これが4次元…、う～ん、やっぱり想像しづらいですね。3次元空間をいくつも用意すればよいのでしょうか、どうしてもスライド的な、時間軸かパラレルの方にいってしまうような…。
人間の眼がz軸、つまり奥行きを省いたxy平面（2次元）を認識するように、4次元人（で良いのでしょうか？）の眼はa軸、つまりスライドの内のひとつのxyz立体（3次元）を認識できるということになるのでしょうか。パソコンなら3Dソフトで認識できそうだけど、違うような気もするし、人間の視界にも限界があるし、4次元人も2次元人もやっぱり視界に限界があるのかもしれません。
変な回答になって、すみません。

回答No.8

kaitaradou

またお邪魔します。私は紙で立体図形を作ることが好きなのですが、こんなことでも何かの足しになるかと思って書いてみます。
　今紙の上にひとつの三角形を描きます。そしてこの三角形の中にひとつの点を描いて、三つの頂点と結びます．中の点と三つの頂点を合わせて４つの頂点とします．全ての頂点から３本の線分が出ています．これは(３次元空間の中の）４面体を２次元のものとして表していることになると思います．同様にサッカーボールの表示は大きな６角形を描いて夫々の頂点から内側に向かって１本ずつ線分を描き、適当なところに新しく(頂）点を描き加えて６角形と５角形を適当な配置と数で作っていくと表せます。もちろん始めの６角形を５角形にしても出来ます．この場合どの頂点からも必ず３本の線分が出ています．これが３次元の立体図形の記号的表現ではないかと思っています．
　次に大きな５角形を描きます。そして各頂点を利用して中にいわゆる星型を描きます．そのとき交差した出来る交点を新しい頂点とします。この図形では全ての頂点から４本の線分が出ています．これは４次元(空間？）の立体（？）図形の表現と言えないでしょうか．つまり複数の頂点からすべてN本の線分が出ている図形を作ればそれがN次元における(立体？）図形の表現になってはしないかというのが私（？）の提案です．他の方も既に同じことを示されているかもしれませんが、一応書かせていただきました．
　オイラーのトポロジーでも同じようなことが示唆されているのかもしれないとも思っています．

お礼

ご回答ありがとうございました。
ブロック積みできる正八胞体の頂点が４つの辺からできていることを示していると思います。この正八胞体を見ていると、何か新たなイメージがわいてきそうな気がしました。
もう少し他の回答を待ってみたいと思います。

回答No.7

hogehogeninja

４Dの空間もすなおなイメージで認識できます。

１Dは０D（点）がある方向に連続的につながっているものが１D空間であり、
１D空間と垂直な方向に連続にその空間が多数連なっているのが２Dです。
さらにそのどちらの方向にも垂直な３つめの方向に多数連なっているのが
３Dで、さらにその３つのすべてに垂直な４つめの方向に３D空間が多数
連なっているのが４D空間です。

フラットランドの話が出ていますが、とても含蓄のあるたとえで、
そのままフラット君になればいいわけです。

２Dの人が３Dを認識するときに、おそらく直接３Dを認識はできないでしょうが、
正確なイメージをつかむことはできます。

たとえば、円錐を理解しようとするとき、２Dの人は断面図を考えて、
２D空間内の円を、多数重ね合わせたものとして理解するでしょう。
しかし２Dの空間がたくさんあるわけですが、それはそれぞれ別の
平面ですし、それぞれ隣り合っています。

同じように、４Dの物体を理解しようと思えば、３Dが断面図になるわけですから、
その断面図をたくさん考えます。
たとえば、大きさの変わる球面です。
２Dの円錐のときには、断面図を少しずつ移動させると、円の大きさも
少しずつ変わります。
同じように、球面の大きさも少しずつ変わります。
しかし変わったというよりも、別の断面を見ているので、その大きさの違う
球面が「同じところに」４つめの方向に重なってつながっているだけです。

ちょうど２Dの円錐で、２Dの人にとっては「同じところに」円があると
理解するようなものです。

しかし、それは重なっているわけでも、バラバラなわけでもなく、連続的に
つながっています。（２Dですこし移動したところに別の２D空間があり、それぞれの
場所でピッタリくっついているように）３D空間でもほんのすこし
移動したところに、別の３D空間があり、ピッタリくっついています。

フラットランドに話を戻して、もしフラットな「正方形」君に３つめの方向を
教えこもうとしたとき、きっと「正方形」君は言います。
「「上」という方向はどっちですか？前ですか？後ろですか？
右ですか?左ですか?」
「正方形」君は２Dの方向だけを考えていて、自分と同じ性質の２Dの世界が、
「上」という方向にたくさんつながっているということをすぐには理解しないから
です。

同じように、３Dに住んでいる私たちも、３つの方向しか認識しませんが、
４Dの空間とはこの３Dを「上」の方向に移動したところに、等質な３Dの空間が
連なっているものです。

ここからは実際に想像してください。
あなたは３D空間の１枚の中にいますが、同じような３D空間がたくさんあります。
たくさん想像します。
それをつなぎ合わせるのですが、「上」という方向につなぎ合わせてください。
ちょうど今自分がいる３D空間の一点一点に、となりあった３D空間の１点１点が
ぴったりつながっていて、連続的に移り変わることができます。

私の４Dのイメージは、こんなかんじで、たくさんの３D空間をまとめてイメージ
し、それが連続的につながっているイメージです。

円錐の断面図の話になれば、円錐の４Dバージョンは、球面がとなりの３D空間に移るたびに少しずつ別の場所の大きさの違う球面を見る感じで、
それを連続的につなぎ合わせるとその全体のイメージになります。
（球面は同じ場所に見えますが、２Dの円が同じ場所ではないように、すべて
つながった別の場所のものを見ているんだということです）。

特に「上」の方向がはっきりイメージできれば、４Dの認識もそんなにむずかしくは
ないです。

ごちゃごちゃしててすいません。

＞３Ｄの視野とは、おそらく、三次元被写体の中身も見える視野だと思っています。

全くその通りだとおもいます。

実際にこの世界は３Dで、目で３Dを見ることはできませんが、
すでに３Dのイメージは心のなかにあるわけですから、
実際の視覚には結び付けられませんが、たとえばサイコロの裏も表も、
３Dのすべての場所のすべての状態を理解していることはできるわけです。

これがそのまま「３Dの視野」でいいのではないでしょうか？

問題は４Dの空間のなかで回転とか、ある方向から見たときにどういう３Dの視野が得られるか、というイメージですね。
具体的なものを置いて想像するしかないと思いますが、
たとえば４Dの立方体の展開図とか、いろいろ考えてみるといい訓練になったりします。
（３Dの世界だったら折線で折り曲げますけれども、
４Dだったら折面で折り曲げるとか、いろいろおもしろいです）

お礼

本当にたくさんの情報ありがとうございました。
何故「３Dの視野」にこだわっているかと言うと、その視野の向こう、その方向が、４つめの方向だと思っているからです。
＞これがそのまま「３Dの視野」でいいのではないでしょうか？
確かにそうですが、私の鈍い感覚では未だ理解まで至りません。
＞４Dだったら折面で折り曲げるとか
私のイメージとして、３Ｄ人の視野が、４Ｄ人によって３Ｄ空間を折り曲げ、３Ｄ人の視野の向こうが全て失われる？と理解しました。
もう少し他の回答を待ちたいと思います。

回答No.6

r420

＃３さんに触発されてもう少し深く考察してみました。

　３Ｄの複雑な形をした物体が、３Ｄの複雑な形に落とす影だけで元の３Ｄの形状を理解する事は可能か？と同レベルの様に思えます。

■視野が３Ｄ
　複雑な形状に落ちた影を立体的に何処からでも観察できる。

■４Ｄが認識できる？
　３Ｄ面で直接見る事が不可能。

　でもこれだけでは面白くないしイメージも湧かないので次のような事を考えてみます。
　ヘリコプターが東京上空を飛んでたとします。　このヘリコプターが林立するビルに影を落としたとき、直接ヘリコプターを見る形状そのものではないはずです。

　実際に４Ｄ物体の３Ｄに落ちた影があるなら形に変化さえあれば計算できる筈です。事実上ｘ次元の計算なんて日常的ですよね。　人間の感覚だって目で見ている２次元+２次元＝３次元(^^; 以上のものです。 突き詰めれば単に脳で計算しているだけの話で、この辺は養老猛さんの専門分野になってしまうのではないかと。

＞盲目の人の中に、一度も目で認識したことがないことから、イメージで４Ｄを認識することが出来るという話があるみたいです。

　むしろ眼で３Ｄを意識しないからこそではないかと考えます。　一般的に周りの状況を眼から読み取って判断していますが、盲目な方と同じ状況を創るには後ろ向きで歩く事がいちばん簡単です。　オーバルトラックを後ろ向きで歩くとき、流れていくラインを見ながらならそれほど問題なく移動する事が出来ますが、そこに頭の中には存在しない（認識外）のものが存在した場合、ぶつかる事になります。　自分で認識出来る以外の物が存在する時点でもう一つの『要素』が存在するのでは。

　数学分野にも拘らずイメージ先行の意見ですが参考になれば。^^;

補足

再びのご回答、本当にありがとうございました。
４Ｄ物体の３Ｄに落ちた影。そういえば、ＣＧでこういったアプローチしたものがありますが、それがとても難しいです。そのＣＧの見方というか、この辺が４Ｄではこう、といった詳細が結構重要なイメージへの要素かも知れません。