２次関数・・・。

質問

試験前で２次関数が分からずてんてこ舞いです・・・。
平方完成の仕方さえまともに分かりません！(痛！)
下の問題教えていただけませんでしょうか・・・。

(1)３点(-1,-2)(2,7)(3,18)を通る２次関数の式を求めよ。

(2)区間0≦x≦2における関数f(x)=x2-2ax+1の最大値,最小値およびその時のxの値を求めよ。

・・・なんですが！(涙)
二乗の部分は文字の後に2と打ちました！
回答お願いします！

回答No.4

noname#8027

>i) a≦0
>ではなくて何でa＜0なのですか？？

このような場合分けについては、境界はどちらに含め
ても成立するため、どちらかに＝をつければ、間違い
ではないと言えます。

ためしに、i)で出てきた式と、ii)で出てきた式にa=0
を代入してみると、両方とも成立すると思います。成
立しなければ、計算ミスです。

ただし、両方に含めると、a=0は、i)で考えるのか、
ii)で考えるのか紛らわしいため、どちらか一方にだけ
含めるのが慣習です。

どちらでもいい時、a≦0とした方がよいとの考え方も
ありますが、「必ず」というわけではありません。

お礼

どちらでもいいのですか？！
ありがとうございましたー！！(謝)
場合分け・・・っていうより２次関数・・・やっぱり好きになれないです・・・(撃沈)

回答No.3

dendai

（1）は解決したみたいなので（2）を。
この手の問題は簡単な図を書きましょう。
そのためには関数を平方完成して
f(x)=(x-a)^2+b
の形にします。
平方完成ですが、
公式
(x+a)^2=x^2+2ax+a^2 （(x-a)^2=x^2-2ax+a^2）
を利用して二次関数を書き換える方法です。

例えばf(x)=x^2+2ax+bという式が与えられたとします。
上の公式を利用するためa^2を足します。
それだけでは式が変わってしまうのでa^2を引きます。
つまり式は
f(x)=x^2+2ax+a^2-a^2+b
となり、前の3つの項を公式にしたがって因数分解をして、
f(x)=(x+a)^2-a^2+b
とするのが平方完成です。

本題に入って（2）ですが、とりあえずx^2の係数が正なので、グラフは下に凸となることがわかります。
区間は気にせず平方完成をして
f(x)=(x-a)^2+1-a^2
よって、グラフの頂点は（a,1-a^2）にあることが分かります。
また、区間の端の値も計算しておくと、f(0)=1、f(2)=5-4a。
頂点のx座標がaなので、下の3通りの場合分けが必要になります。
ⅰ:a<0
ⅱ:0≦a≦2
ⅲ:2<a
また、この問題の場合はⅱがさらに分かれてf(0)≦f(2)のときとf(0)＞f(2)の場合があります。
図を描けば分かると思いますが、
ⅰの場合は最大になるときがx=2のときで最小になるときがx=0のとき。
ⅱの場合は最大になるときがx=2のときかx=0（f(0)≦f(2)のときとf(0)＞f(2)で場合分け）のときで最小になるときがx=aのとき。
ⅲの場合は最大になるときがx=0のときで最小になるときがx=2のとき。
となります。
細かい計算はめんどいので自分でやってください。

補足

あの・・・詳しいコトはよく分からないのでなんともいえないのですが・・・。
平方完成の方は先生よりも分かりやすい説明で分かりました！(笑)
それで本題の方なのですが、場合分けしたあと
i) a≦0
ではなくて何でa＜0なのですか？？
スマセッ・・・お馬鹿で・・・っ。(涙)

回答No.2

Sylow

a-b+c=2 じゃなくって
a-b+c=-2 ですね。
これをとくと、
a=2,b=1,c=-3 ってなります。
答えはちゃんと、y=2x^2+x-3 やf(x)=2x^2+x-3 って書いてください。
はじめにy=ax^2+bx+c って置いたけど、場合によっては、y=a(x-b)^2+c って置いたり、問題によって変えてください。

お礼

Σあ！
-2ですね！(笑)うわぁ気付きませんでした・・・(ぇ)
わざわざ訂正ありがとうございます！！
あっ、ハイ！
場合によって使い分けるんですね！
分かりました！ありがとうございました～！！

回答No.1

Sylow

(1)は２次関数についてなんの情報もないので、
y=ax^2+bx+c っておきます。
この式に、(-1,-2)を通るので、x=-1,y=-2 を代入すると、
-2=a(-1)(-1)+b(-1)+c　つまり
a-b+c=2　っていう式がわかります。他の２点でも同じ事をすると、
a-b+c=2
4a+2b+c=7
9a+3b+c=18 この連立方程式を解くと、
a,b,c がわかって解けると思います。

お礼

迅速なご回答どうもありがとうございました！
よく分かりました！