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- maskoto
- ベストアンサー率54% (613/1124)
微分って、ざっくり言うと変化の割合(＝グラフの傾き)のことなんです 例 y＝f(x)＝x²と言う二次関数において xが1から3に増加した時 f(x)は1²から3²に増加するから (平均の)変化の割合＝yの増加量/xの増加量 ＝(3²−1²)/(3−1) ＝4 (4は、二点(1、1²)と、(3、3²)を結ぶ線分の傾きでもある) これを一般化して、xがaからbに増加した時は yはa²からb²に増加するので この場合の変化の割合は (平均の)変化の割合＝yの増加量/xの増加量 ＝(b²−a²)/(b−a) ＝b+a ＝｛f(b)−f(a)｝/(b−a) (これは、二点A(a、a²)と、B(b、b²)を結ぶ線分の傾きでもある) ここまでが平均の変化の割合のお話し ここからが微分のお話し 先程のxがaからbへ増加の件について BをAに近づけて行く事を考えます すると、BとAの距離は縮まり、やがてAとBはほぼ重なっているような位置関係にまで接近しますよね これを数式であらわしたのが lim[b→a]｛f(b)−f(a)｝/(b−a)なんです この式は、 bがaに限りなく接近してはいますが、先程示したaとbがある程度離れていたときと本質は同じであり bがaに限りなく接近した時の変化の割合を示しているんです グラフで言えば、AとBが、ほぼ重なっている時の線分ABの傾きだから、 点Aにおける曲線y＝f(x)の接線の傾き 言わば、平均の変化の割合ならぬ x＝aにおける瞬間の変化の割合 と言う事になるんです そして、この接線の傾きをf′(a)と表現する事にしたので f′(a)＝lim[b→a]｛f(b)−f(a)｝/(b−a)｝…(微分係数の定義) です xの増加量をtとおいてやれば b＝a+tなんで、この定義式は f′(a)＝lim[t→0]｛f(a+t)−f(a)｝/t｝ と言うようにも書けます この定義(意味)を踏まえ ご質問の式でも 微分係数＝f′＝瞬間の変化の割合 が使えるように式変形がなされています まずは分数を分離して 与式＝ lim[｛f(1+2h)−f(1)｝/h｝−｛f(1−3h)−f(1)｝/h｝] としておいてから lim[｛f(1+2h)−f(1)｝/h｝…①に着目 f(1+2h)−f(1)からはAのx座標が1で xが1から2hに増加した(xの増分2h)とみなして Bのx座標は1+2hになったんだなと考えてあげるのが適切なので yの増加量/xの増加量＝｛f(1+2h)−f(1)｝/2h…② を登場させるようにします しかし、これだけだと①と分母が食い違うので、②に2倍して ｛f(1+2h)−f(1)｝/h｝ ＝2｛f(1+2h)−f(1)｝/2h｝ です ｛f(1−3h)−f(1)｝/h｝]の方の変形も同じ要領です 平均の変化の割合である ｛f(1+2h)−f(1)｝/2h｝に limがくっつくと 瞬間の変化の割合 ＝(x＝1での)接線の傾き ＝f′(1) ですから h→0のとき2h→0(模範解答は置き換えを利用している)を踏まえて lim(h→0) 2｛f(1+2h)−f(1)｝/2h｝ ＝2×(Ｘが1での瞬間の変化の割合) ＝2×Ｘが1での接線の傾き ＝2f′(1) と言う事になります ｛f(1−3h)−f(1)｝/h｝]にlimがくっつく場合の計算も同じ要領です このような仕組みで式変形が進められています
- gamma1854
- ベストアンサー率52% (315/600)
微分係数を定義から計算する式に変形しています。下の式を整理し、上の式になることを確かめてください。
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