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- maskoto
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二通りほど解説の仕方を思いつきますが 次のように、三角関数の定義をしっかりおさえておいて、それを元に考えるのが(他の問題にも応用が利いて)良いと思います まずは、文字がかぶるので解説の都合上 与られた方程式はy＝2sinx+cosxではなくて 文字をかえて(xはtにyはuに置き換えて)、 u＝2sint+costだとさせてください さて、正確な定義は、テキストに譲りますが 三角関数のおよその定義は以下です 「座標平面上に、原点中心、半径1の円を描く x軸の正の部分 から、反時計回りに角度θをなす位置に 半径OPを書き、Pの座標をP(x、y)とする このようにしておいて、 sinθ＝y(＝Pのy座標) cosθ＝x tanθ＝y/x と決める」 この「」で示した定義は非常に重要になってくるので、ぜひともおさえておきたいところです！ 定義から sinα＝1/√5かつcosα＝2/√5 なら、単位円上に、x軸から反時計回りにαの角度をなす半径OP′を書いたとき P′の座標をP′(Ｘ、Y)として sinα＝Y＝1/√5 cosα＝Ｘ＝2/√5 であり、P′は第一象限に位置する事になります このとき角度を0〜2πに限定するなら、αは鋭角と言う事になり、0＜α＜π/2だと言えます αの範囲を押さえた上で、やはり定義に従って θ＝t+αの場合を考えます x軸とt+αの角度をなす半径OQを考えると sin(t+α)＝Qのy座標 となります α≦t+α≦π+αなので、 半径OQは x軸との角度がαとなるいちから、反時計回りに、x軸との角度がπ+αとなる位置までのいづれかに存在する事になります(図の太い円周上の何処かにQは存在する事になる) x軸とπ+aの角度をなす半径は図の第3象限の斜め半径であり、x軸とαの角度をなす半径は 図の第一象限の斜め半径ですから 図の第3象限の円周上の黒丸をA、第一象限の黒丸は先に示した通りP′と命名すれば P′の座標は定義から(2/√5、1/√5)でしたから Aは(−2/√5、−1/√5)と言う事になります このとき、 Aのy座標≦Qのy座標であり 更にQのy座標はQが(0、1)にあるとき最大となるから Aのy座標≦Qのy座標≦1 だといえます 定義に従って ↔sin(π+α)≦sin(t+α)≦1 ↔−1/√5≦sin(t+α)≦1 です 辺々√5倍して ↔−1≦√5sin(t+α)≦√5 なので、u＝2sint+cost＝√5sin(t+α)は −1から√5までの値のいづれかを取る事になります
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