同様に計算するのなら
11^28<2^10011^29 ...(A)
を利用して
log[11](11^28)<100*log[11](2)=log[11](2^100)<log[11](11^29)
28<100*log[11](2)<29
よりlog[11](2)=0.28...とします。しかし(A)式を手計算で求めるのはできないというのなら、
2^38<11^11<2^39 ...(B)
を利用します。
log[11](2^38)<log[11](11^11)<log[11](2^39)
38log[11](2)<11<39log[11](2)
11/39<log[11](2)<11/38
0.282...<log[11](2)<0.289...
ですね。(B)式は以下のように確認できます。
11^11
=(10+1)^11
=10^11+11*10^10+55*10^9+165*10^8+330*10^7+462*10^6+…
=(100+110+55+16.5+3.3+0.462…)*10^9
=(285.2+…)*10^9
2^38
=(2^10)^4/4
=(1024)^4/4
=(1.024)^4/4*10^12
=(1+0.024)^4/4*10^12
=(1+4*0.024+6*(0.024)^2+…)/4*10^12
=(1+0.096+0.026496+…)/4*10^12
=(1.0994...)/4*10^12
=274.8*10^9
2^39=549.7*10^9です。これなら手計算も可能です。
まあ、実際は計算機を使うのが早いんですけどね。