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質問

面積を求める時に補助線を引いて分けて考える時とわけないで考える時の違いは囲む直線や曲線が3つ以上か3つ未満かという違いですか？例題246は分けないで、例題247は分けて考えています

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

ちなみに、
定積分の意味は次のようになります
定積分
＝∫(α→β)上部の式−下部の式dx
＝「x＝α」とx＝βと上部のグラフと下部のグラフで囲まれた部分の面積

このことから、αやβがグラフの交点である時は、上記から「x＝α」またはx＝βが削除され
例えば247の
∫(1→3)x+6−x²dx　
は、x＝1とy＝x+6とy＝x²に囲まれた部分の面積を意味します

回答No.1

maskoto

基本的に
面積
＝∫(上部に位置するグラフの式)−(下部の式)dx…①です

例えば246の(1)では積分する範囲(積分区間)
のx＝−1からx＝3まで
上部のグラフを表す式と、下部のグラフを表す式が切り変わる事がありません
このようなときは、補助線なしで模範解答のように積分計算が出来ます

しかし、247ですと、積分区間の途中で
下部のグラフを表す式が
y＝2−xから
y＝x²に切り変わるので
これを①に表すには、積分区間を−2〜1と
1〜3にセパレートしてあげないと、①に当てはめてあげる事が出来ないのです

仮に無理やりに
①＝∫上部の式−下部の式dx
＝∫(x+6)−{(2−x+x²)}dx
などにしてみても、これは
y＝(x+6)とy＝(2−x+x²)に囲まれた部分の面積になってしまい、題意とは異なるものを計算していることになってしまうのです

(ちなみに、必要はありませんが、補助線を増やしたとしても答えは変わりません
246でx＝1の補助線を入れて
求める面積
＝∫[−1〜1])−x²+2x+3dx+∫[1〜3])−x²+2x+3dx
として計算したとしても、模範解答と同じ結論を得ます
ただし、時間はかかるし、計算ミスの可能性も高まるので、このような事をするのは得策ではありません…)

お礼

ありがとうございました