数学A 確率の問題

質問

白玉8個、赤玉4個が入っている袋から、玉を1個取り出して元に戻すことを6回続けて行う時、少なくとも2回は白玉が出る確率を求めよ。

白玉が１回も出ないとき、白玉が1回出るときと
余事象の考えを使うのはわかるのですが、
この問題の解き方について質問です。

・白玉が1回も出ない確率は、どうして(4/12)^6で
　求められるのですか？
・白玉が1回出る確率の式はどう立式すればいいですか？

お願いしますm(__)m

回答No.3

Higurashi777 · ベストアンサー

＞白玉が1回も出ない確率は、どうして(4/12)^6で求められるのですか？

玉の数は全部で12個、そのうち赤玉が4個ですから、１回の試行で赤玉を引く（＝白玉を引かない）確率は4/12ですよね。
6回続けて白玉を引かない＝6回続けて赤玉を引く、ですから、確率としては(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)、すなわち(4/12)^6になります。

＞白玉が1回出る確率の式はどう立式すればいいですか？
白玉が１回出る＝赤５回白１回ですよね。
先ほどの考え方で言うと、(8/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)ですが、白玉が何番目に出るかを考えるとこれが６通りありますよね。
なので、(
(8/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)x(4/12)) x6 が回答となります。

以上、ご参考まで。

お礼

ありがとうございます！！理解できましたm(__)m

回答No.5

maskoto

maskoto より補足します
ちなみに反復試行(今回のように1回取り出したら元に戻してから再び取り出すものを反復試行と言う)の確率の公式は以下です

n回試行して、そのうちK回が求めるべきこと(白が出ない)に該当する
確率は
一回だけの試行で、求めるべきこと(白が出ない)に該当する確率をPとして
nCK×(P^K)×(1−P)^(n−K)…公式

このことから、公式に当てはめると
一回の試行で白が出ない確率Pは
P＝4/12
n＝6
なので、1回も白が出ない確率はK＝6として
₆C₆×(4/12)⁶×(8/12)⁰
＝(4/12)⁶
となりますし

1回だけ白＝5回赤
の確率はK＝5として
₆C₅×(4/12)⁵×(8/12)¹
となるわけです

お礼

回答していただき、ありがとうございますm(__)m

回答No.4

f272

#1で書いた
少なくとも2回は白玉が出る確率を求めるのなら，上3つを足せばよい。余事象なんて使うのは苦労が多いだけです
は忘れてください。
少なくとも2回は白玉が出る確率を求めるのなら，上2つを足したものを全体1から引けばよい。下5つを足しても答えは出ますが計算が楽になります。

お礼

わかりました！
ご回答ありがとうございますm(__)m

回答No.2

maskoto

数を少なくしてわかりやすくしてみます
A、B、Cの三っつから一つ選んで取り出して確認したら、元に戻す
これを2回繰り返す時2回ともAを取り出さない確率は？

…樹形図は

A─A
　＼B
　＼C

B─A
　＼B
　＼C

C─A
　＼B
　＼C

となるので、取り出し方の総数は
3×3(文字の総数3を取り出す回数(2回)掛け算)
通り
このうち、Aを取り出していないケースの場合の数はBから始まる場合もCから始まる場合もそれぞれ2個だから2×2
ゆえに、求める確率は
該当する場合の数/総数
＝2×2/(3×3)
です

これを式変形すると
＝(2/3)×(2/3)
であり、場合の数と総数を意識しなくても
一回一回のAを取り出さない確率(2/3)を
取り出し回数分だけ掛け算すれば
求めるべき確率が求められる事がわかります

この仕組みは、数が増えても変わらないので
白が一回も出ない確率は
各回に白が出ない確率4/12を取り出す回数分だけ掛け算した
(4/12)⁶
と求められます

同様に、一回目だけ白、2〜6回めは赤が出る確率は、
A、B、Cの例のように
総数と場合の数から計算して求めたものと
一回目白の確率(8/12)
2〜6回め赤の確率(4/12)を5回掛け算
これらを掛け算して
(8/12)×(4/12)×(4/12)…×(4/12)＝(8/12)×(4/12)⁵と求めても、同じ結果が得られます
ただし、この場合は2回目白、残りは赤の場合もその確率が
(4/12)×(8/12)×(4/12)…×(4/12)＝(8/12)×(4/12)⁵
であり
同様に、白が3回目だけ、4回目だけ、5回目だけ、6回めだけに出る確率も、それぞれ
(8/12)×(4/12)⁵となるので
白が1回でる確率は、上記を合計して
6C1×(8/12)×(4/12)⁵となります
6C1は(8/12)を掛け算する位置の選び方が
6C1通りあると言う意味になります

お礼

詳しく教えてくださり、ありがとうございますm(__)m

回答No.1

f272

白玉が出る確率は(8/12)です。赤玉が出る確率は(4/12)です。
6回で白玉がk回出るのは赤玉が(6-k)回出るということです。
白玉赤玉の出る順番は1通りではなく，6Ck通りあります。
したがって，以下のようになる。
白玉が0回でる確率=6C0*(8/12)^0*(4/12)^6
白玉が1回でる確率=6C1*(8/12)^1*(4/12)^5
白玉が2回でる確率=6C2*(8/12)^2*(4/12)^4
白玉が3回でる確率=6C3*(8/12)^3*(4/12)^3
白玉が4回でる確率=6C4*(8/12)^4*(4/12)^2
白玉が5回でる確率=6C5*(8/12)^5*(4/12)^1
白玉が6回でる確率=6C6*(8/12)^6*(4/12)^0

少なくとも2回は白玉が出る確率を求めるのなら，上3つを足せばよい。余事象なんて使うのは苦労が多いだけです。

お礼

詳しく書いてくださりありがとうございますm(__)m