複合図形の面積

質問

解説の意味がわからないです。頂角120度の二等辺三角形…のところからどういう考え方で面積を求めるのでしょう。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

まずは、PQの中点をМ
RPの中点をNとします

円の中心O(Oは∠Pの二等分線上にあるのでそれを踏まえて、初めは、だいたいの位置にかいてみるとよい)から
Pと２つのの中点に向かって、三つ半径を引きます

すると、中心角＝2×円周角
の関係にあるので∠МON＝2×∠P＝120度
となります
このとき、図形の対称性から
∠МOP＝∠NOPであり
かつ∠МOP+∠NOP+∠МON＝360なので
∠МOP+∠NOP＝360-120＝240
∠МOP＝∠NOP＝240÷2＝120
だとわかります

更に、PМの中点をМ′とするとOМ′はМPの垂直二等分線となるので
△PМ′Oは30、60、90度の直角三角形となりますから、このような市販の三角定規形の辺の比
1:2:√3を用いると
円の半径が分かります

これらの情報を元に、求めるべき面積を
２つのの二等辺三角形МOP、NOPと残りの扇形に3分割して計算しょうというのが模範解答です

まだ不明の点があれば補足コメントを

お礼

良く分かりました。正三角形の面積の公式を使ってその２個分の面積と３分の１の円の面積の計算で解きました。円が出てきたら中心と接点とか交点を結ぶという鉄則を想起すべきでした。いつもありがとうございます😊

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回答No.2

Higurashi777

点Pから直線QRに対して垂線を引きます。
点Pを通る円の中心はこの垂線上にあることはわかりますよね。
円の中心を点S、線分PQと円の交点を点A、線分PRと円の交点を点Cとすると、
「底辺1、頂角120度の二等辺三角形」はこの円の中心から作られる三角形（三角形SPAと三角形SPB）になります。
半径√3/3、中心角120度の扇形は点Sを中心とした、弧ABを持つ扇形になります。

ちなみに、点Sから線分PAに垂線を下ろし、その交点を点Cとすると、三角形SPCは角SPC＝30度、角PSC＝60度の直角三角形ですよね。
すると30/60度の直角三角形の辺の比は1:2:√3であることから、この円の半径（線分SP）の長さは√3/3と求まります。

以上、ご参考まで。

お礼

ありがとうございます。確認してみました。中心と交点，接点そ結ぶという鉄則を思い出していれば困らなかったと思います。そうすれば展望がひらけていたと思います。

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