電磁気

質問

真空中に密度ρ[c/m^2]で一様に電荷が帯電した無限に広い平面(xy平面上)から距離a[m]の位置に点p(0,0,a)がある。
(1)pにおける電界ベクトルEをもとめよ
(2)pにおける電界ベクトルEのうち、E/2は点pから距離2aの範囲に存在する電荷からの寄与であることを求めよ

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

まず補足から
(1)
Ｅ＝(0、0、Φ/2)
＝(0、0、ρ/(2ε))

(2)
Pから距離2aの範囲にあるのは
xy平面上で原点を中心とする半径√3・aの円周及びその内部…これを領域Dとする
xy平面上の任意の点L(x、y、0)が帯びる電荷は
ρdxdy
xy平面上にあるすべての電荷がPにつくる電界ベクトルのx成分及び、y成分は図形の対称性から打ち消しあうので
Lの電荷がPにつくる電界の、Z成分だけを考えると
Kaρ/(a²＋x²+y²)^(3/2)dxdy
これを元に、D内にある全電荷がPにつくる電場のZ成分を求めに行く
Ｅ_Z
＝∫∫Kaρ/(a²＋x²+y²)^(3/2)dxdy…積分領域D
x＝rcosθ、y＝rsinθとして座標変換すると
dxdy＝rdrdθ
積分領域:D′は0≦r≦√3a、0≦θ≦2π
となるので
重積分つづき
＝∫∫Kaρr/(a²＋r²)^(3/2)drdθ…D′
＝∫[0→2π]{∫[0→√3a]Kaρr/(a²＋r²)^(3/2)dr}dθ
この積分結果は
＝Kπρ
＝ρ/(4ε)
ゆえに題意が確認されたことになります

不明な点があれば補足コメントを…

回答No.1

maskoto

(１)
Pを含みxy平面に平行な面積１の正方形をαとする
αをZ軸に沿って、Z＝-aの位置まで平行移動させた位置にある正方形をβとして
αとβをそれぞれ上面と下面とする直方体Sを考える
すると、Sは面積1のxy平面をきりとるから
閉局面S内には電荷ρクーロンが存在していることになる
そして、電荷は無限に広がるxy平面に一様に分布してるのだから、任意の点における電界ベクトルはZ軸に平行である
ゆえに、閉局面Sを貫く電気力線は平面α及びβだけを垂直に貫き、Sの他の面は貫かないことと、αを貫く電気力線の数はβを貫く電気力線の数と等しいことが言える
これを踏まえてガウスの法則より
Sを貫く電気力線の総本数Φは
Φ＝ρ/εであるから
αを貫く電気力線はΦ/2であり
αの電界の強さ│Ｅ│は
│Ｅ│＝Φ/2
向きはZの正方向とわかる
すなわち
Ｅ＝(0、0、Φ/2)

(2)は後ほど
明日になるかもしれません…