通り(並べ方)について

質問

A,B,C,D,Eがあります。
Aは0〜6 , Bは2,3 , Cは1〜7 , Dは2,3 , Eは0〜6
になる。

A,B,C,D,Eの合計が12になるのは何通りですか？

回答No.3

gamma1854

ABCDE の順に書くと考えられるのは、次の形です。
1)　 ■２■２■. すなわち、A+C+E=8.
2) 　■２■３■ ...(B, C)=(2, 3), (3, 2) の２通りあり. すなわち、A+C+E=7.
3) 　■３■３■. すなわち、A+C+E=6.
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それぞれの場合を詳しく数えると、
1) は 7+7+6+5+4+3+2=34 (通り),
2) は、(7+6+5+4+3+2+1)*2=28*2,
3) は、6+5+4+3+2+1=21,
だけあり、これらの合計が求める数です。
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計算ミスがあるかもしれませんが、このように場合分けし、数えてください。

回答No.2

petertalk

数えるのもなかなか面倒ですが、
数字が不規則に見えて実は規則的なので、
計算で求めてみます。

A:0～6
B:2～3
C:1～7
D:2～3
E:0～6

求めるのは、この範囲で合計12になる組合せの数ですが、
B+Dを分けて、更に、Cも0から始まるように、範囲から1を引くと、

B+D:4～6
A:0～6
C:0～6
E:0～6

これで合計が 12-1=11になる組合せを求めればいいことになります。

B+Dが3通りなので、BとDで場合分けすると、

・B=2, D=2

A+C+E=11-4=7になるのは、7を3つに分ける重複組合せなので、(*)
(7+2)Ｃ2 = 9Ｃ2 = 36通り

ただし、A,C,Eとも最大が6で、7,0,0という組合せは作れないので、
この3通りを除いて、36 - 3 = 33通り

・B=2, D=3
・B=3, D=2

A+C+E=11-5=6になるのは、6を3つに分ける重複組合せなので、
(6+2)Ｃ2 = 8Ｃ2 = 28通り

・B=3, D=3

A+C+E=11-6=5になるのは、5を3つに分ける重複組合せなので、
(5+2)Ｃ2 = 7Ｃ2 = 21通り

以上を合計して、33 + 28x2 + 21 = 110通り

(*)重複組合せとは

この問題では、数値が A,C,Eの3つ、和が7なので、
7個の〇を2つの仕切り｜で区切って、
左からA,C,Eの3つに分割すると考えます。

例えば、

〇〇〇｜〇〇｜〇〇 は、A=3,C=2,E=2
｜〇〇〇〇〇〇｜〇 は、A=0,C=6,E=1

こうすると、A,C,Eの組合せは、〇と｜の並べ方に1対1で対応するので、
和が7になるA,C,Eの組合せの総数は、〇と｜の並べ方の総数になります。

よって、〇と｜の合計が7+2=9個で、このうち、
2個の仕切り｜の位置の選び方が 9C2通り、という計算になります。

回答No.1

asuncion

制限がきついB, Dの組から考えるとよいでしょう。
(B, D) = (2, 2)のとき
A + C + E = 8
A = 0のとき、C + E = 8, これをみたす(C, E)の組は
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6個
A = 1のとき、C + E = 7, これをみたす(C, E)の組をすべて数える
...
A = 6のとき、C + E = 2, これをみたす(C, E)の組をすべて数える

(B, D) = (2, 3)のとき
A = 0のとき、C + E = 7, これをみたす(C, E)の組は、すでに数えているはず
A = 1のとき、C + E = 6, これをみたす(C, E)の組は、すでに数えているはず
...
A = 6のとき、C + E = 1, これをみたす(C, E)の組をすべて数える

以下、同様に、
(B, D) = (3, 2), (3, 3)のときについて
根気よく数えれば、答えにたどり着くでしょう。