熱力学第一法則(エネルギー保存則)

質問

この画像の問題の(3)の膜(球形容器)がされた仕事はなぜ0ではないのでしょうか。
ゆっくりと状態変化ということは膜はつり合いながら膨張しているということですよね。
なので、膜に働く力も相殺されて0だと思ってしまいました。

答えは
(3)8πσrΔr
です。

それに仕事が0じゃないとしても、膜(球形容器)に働く弾性力Fは内側にかかり、膨張するので膜がされた仕事は負の値にならないのでしょうか。

膜(球形容器)に働く力
①「外部気体」から
②「内部気体」から
③「弾性力」
がつり合っている状況ではないのでしょうか。
ですが、そのように考えた時、この弾性力は(「何」から)働く力なのかがわかりません。「膜」から「膜」はおかしいですよね。

「ばねつきピストン(水平に置かれた容器がばねがついたピストンで隔てられ、ばねがついている片方が外部気体と触れている状態)」を考える際に、
ピストンに働く力
①「外部気体」から
②「内部気体」から
③弾性力(「ばね」から)

となり
ピストンに働く式を立式しますが、この画像の問題の場合はどうなっているのでしょうか。

回答No.4

maskoto

貴方の補足を
分割して見て行きたいと思います…

❶ばねを手(だけ)でxまで伸ばした時
❷ばねに取り付けた小球を手でxまで伸ばした時
この違いを考えていました。

【❶ ばねを手(だけ)でxまで伸ばした時の場合】
手に働く力
•弾性力:F(ばね→手)

ばねに働く力
•弾性力とつり合う力:F外(手→ばね)
⇒(以下、弾性力外:F外 と表記します。)

弾性力による位置エネルギー
=弾性力外が基準点→xまでする仕事
=∫(0→x)F外 dx
=1/2kx²
=ばねがされた仕事
(=手がする仕事)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
※ここまでの内容に誤りはないと思います※

弾性力があるなら❶の時にも、もちろん「弾性力による位置エネルギー」が発生するはずと思い❶と❷を考えておりました。
この時「ばねがされた仕事」として、ばねに蓄えられるエネルギーとして考えなければならないのかな、と思っておりました。

❷も同様に考えると、
【❷ばねに取り付けた小球を手でxまで伸ばした時】
手に働く力
•f(小球→手)

ばねに働く力
•弾性力とつり合う力:F外(小球→ばね)

小球に働く力
•弾性力:F(ばね→小球)
•f'(手→小球
↑ 「f'= 弾性力とつり合う力:F外」とも、みなせてしまうのでしょうか。
私はこのf'を弾性力外:F外として、小球に働く力f'で 弾性力による位置エネルギーを考えていました。弾性力に逆らうように手が小球に力を加えて、小球を動かすので...
そこでおかしくなったんだと思います。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
※小球の力の釣り合いより
(ベクトルf')+(ベクトルF)＝0
作用反作用より
ベクトルF＝−(ベクトルF外)
ですので
ベクトルf'＝ベクトルF外
つまりf'とFは同じ大きさで同じ向き
だと言えます
「そこでおかしくなった…」
ということではなさそうですね
f'の力でバネをx伸ばした
つまり、手で直接バネにf'の力をかけてx伸ばした、と捉えても結果は同じと言う事です
厳密にはf'でxだけ球を移動させたので
手の持っていたエネルギーの一部から
手のした仕事Wが球に移り
球はF外の力でバネをxだけ引き伸ばしたので
この球のエネルギーWがバネに移る
そしてWが1/2kx²に相当する
球はWのエネルギーをもらい、Wのエネルギーを渡したので、球のエネルギーの増加量は0
→手のエネルギー(仕事W)が(球経由で)バネに移った
と言う事になります※

返信してくださった、『ばねの弾性力(復元力)による位置エネルギー』を
『①小球に蓄えられたエネルギー と言う解釈』
『②変形したばねに蓄えられたエネルギー と言う解釈』の2通りとはこういうことですよね。

ゆっくり動かすので、小球に働く合力は0でつり合っており、
小球のつり合いの式より、F=f'
作用反作用より、F=F外 , f=f'
なので、F=F外=f=f' (全て力の大きさ)

弾性力による位置エネルギー
=弾性力外が基準点→xまでする仕事
=∫(0→x)F外(小球→ばね)dx
(=∫(0→x)f'(手→小球)dx)
=1/2kx²
=ばねがされた仕事①(=小球がする仕事)
=小球がされた仕事②(=手がする仕事)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
※①②と言う番号があると、意味がつかめませんが、番号を削除して
弾性力による位置エネルギー
=弾性力外が基準点→xまでする仕事
=∫(0→x)F外(小球→ばね)dx
(=∫(0→x)f'(手→小球)dx)
=1/2kx²
=ばねが(小球から)された仕事(=小球がする仕事)
=小球が(手から)された仕事(=手がする仕事)
とすれば、誤りはなさそうです※

より、
上記は
ばねがされた仕事⇒①小球に蓄えられたエネルギー
小球がされた仕事⇒②ばねに蓄えられたエネルギー
という解釈が生まれてしまうということでよろしいでしょうか。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
※
ここは、そんな難しいはなしではなくて
バネと球のグループに、手からWの仕事をされれば、そのエネルギーWはこのグループに蓄えられる
では、グループ内のどちらがWを持ったの？
①小球だよ
②バネだよ
と２つに分かれる
と言う事だと思います
(多くの教科書などは①で解釈しているようです)
そして①の解釈での問題点は以下
自然長からxだけ伸ばしたばねに繋がっている
小球は、
位置エネルギー
1/2kx²
をもつとされるが
それは、すなわち、このエネルギーの所在は(ばねに蓄えられてるのではなくて)小球自身にあるということ
しかし、この考えだと次のような矛盾が生じる

小球には２つの力Fとf'が働いている
小球がx動く
小球はFからは
−W＝−1/2kx²の仕事をされる
f'からは
W＝1/2kx²の仕事をされる
トータルで小球の得たエネルギー(された仕事)は0
1/2kx²を小球が持ってるとされてるのに
小球が得たエネルギーは0？
(これは矛盾)

②の解釈だとこの矛盾は生じない
先程書いた通り
手から球
球からばね
にエネルギーWが移るのだから
xだけ伸ばしたときの弾性力の位置エネルギーは、すべてばねが持っていて
球にはない
直前に説明した、小球が得たエネルギーは0
に矛盾していない
という事です※

画像の問題の「膜」自体が「ばね」となっているということですよね。
私は「膜」を『ばねつきのピストン』の「ピストン」と同じようにみなしていました。そのため、2通りの解釈がうまれてしまう考えになってしまったのだと思います。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
※画像問題では
バネが膜に置き換わった
と言う事になります※

補足

長文を読んで、丁寧に返答していただきありがとうございます。
返信が遅くなりすみません。

大分、わかってきた気がします。
確かに、「①小球がもつ」という解釈を今までしていたので、教科書通りに①の解釈を当たり前のように使っていました。今回の画像の問題のように「ばね」が「膜」に変わるだけで混乱していました。
あと少し確認をさせていただきたいです。

手(外力)がする仕事が
①小球に蓄えられるか(弾性力による位置エネルギー)
②(小球経由で)ばねに蓄えられるか(弾性力による位置エネルギー)
ということですね。

【❶ ばねを手(だけ)でxまで伸ばした時】
こちらはよくわかりました。

【❷ばねに取り付けた小球を手でxまで伸ばした時】
手•小球•ばねとあり、書いてくださった通りグループ「小球•ばね」とすると、「②ばねに蓄えられたエネルギー」だと解釈する場合、エネルギー保存則で考えられるのは、
•小球の(重力による)位置エネルギー(今回0)
•小球の運動エネルギー(今回0)
•(小球経由)ばねに蓄えられたエネルギー(弾性力による位置エネルギー)
だと思うのですが、この時「小球•ばね」グループの外力を探すときに、「小球に働く力」と「ばねに働く力」を考えないといけませんよね。

「小球•ばね」グループ(系)

小球に働く力
(1)弾性力(ばね→小球)
(2)力f'(手→小球)

ばねに働く力
(3)弾性力の逆向き(作用反作用)(壁→ばね)
(4)弾性力の逆向き(作用反作用)(小球→ばね)

上記の(1)•(4)はグループ内なので、内力扱いであり、
(3)は仕事をしない?という考えでいいのかわかりませんが、(2)をグループの外力の仕事として、エネルギー保存則を考えることができるということでしょうか。
(2)の仕事を
①小球に蓄えられるか(弾性力による位置エネルギー)
②(小球経由で)ばねに蓄えられるか(弾性力による位置エネルギー)
という2通りの解釈にできるということでよろしいでしょうか。

また
「小球」グループ(系)

小球に働く力
(5)弾性力(ばね→小球) 仕事:-W (例と同じ表記です)
(6)力f'(手→小球)

エネルギー保存則を立てると(5),(6)は小球からすると外力なので、計算すると「小球がされる仕事=(-W)+W=0」ということになります。確かにエネルギー保存則の式は成立しますよね。何も意味のない式のような気がしますが、
•小球の(重力による)位置エネルギー(今回0)
•小球の運動エネルギー(今回0)
より、0+0+(-W)+W=0+0

ですが、「弾性力は保存力なので、弾性力による位置エネルギー」として考えた場合、小球の外力の仕事として考える必要はないってことでしょうか。
•小球の(重力による)位置エネルギー(今回0)
•小球の運動エネルギー(今回0)
•小球に蓄えられたエネルギー(弾性力による位置エネルギー)
より、0+0+W=0+0+1/2kx²

自分からわざわざややこしくしてしまっていますが..
このようなことなのでしょうか。何度も同じことを聞いてしまって、すみません。

回答No.3

maskoto

補足
直線上にある物体Мにヒモをつけ
右向きの力Тで引っ張りΔxだけ右に移動させるとします
このとき、物体には張力Тが働き
反作用としてヒモ(の左端)にもТの力が左向きに働いています
この状態で、物体がされた仕事を考えるときは右向きのТを用いて
W＝ТΔx
と計算する
この計算のときに左向きのТは意識しない
これには違和感は無いと思います…

ここで、物体Мとは実はバネのことで
その左端は壁に固定されている
と種明かしされたらどうですか？
Мがバネとわかった途端に、バネがされた仕事
の計算には右向きのТの他に左向きのТ(＝バネの復元力に相当)も使いますか
それはおかしいですよね
種明かし後であっても
М＝バネ
がされた仕事
を考えるときには右向きのТしか考えないはずです
このことから、
バネがされた仕事
＝バネの変形に使われたエネルギー
＝バネ自身が蓄えるエネルギー
＝弾性力による位置エネルギー
の計算には、復元力の仕事は意識しない
というのが真正面からの考え方であると
わかるかと思います…
膜がされた仕事でも同じで
膜がされた仕事の計算には膜の復元力は持ち込まない、というのが正面からの考え方です

ただし裏からの考え方も存在します
バネと連結された小球のケースの場合
バネの復元力Fと小球の移動の向きΔxが一致なら
バネの復元力がする仕事
＝FΔx
＝バネのエネルギーの減少量
＝小球の運動エネルギーの増加量
です
これが復元力がする仕事が正のバージョン
次に
復元力の向きと小球の移動の向きを真逆にした場合は、この等式にマイナスがつき
復元力がする仕事
＝-FΔx
＝-(バネのエネルギーの減少量)
＝-(小球の運動エネルギーの増加量)
となり
すなわち
復元力がする仕事
＝バネのエネルギーの増加量
＝小球の運動エネルギーの減少量
で、これは復元力のする仕事が負のバージョン
この負のバージョンにおいて
バネのエネルギーの増加とは
バネがされた仕事を意味しますから
復元力の仕事からも、バネのされた仕事を計算できると言う分けです

ただし、この場合は復元力だけを考慮して外力は意識していないと言う事に留意です

これらの事から
バネがされた仕事を考えるなら
外力だけ意識して計算(真正面からの考え方)
するか
復元力だけ意識して計算(裏からの考え方)
のいづれかとなり
外力と復元力を両方意識しての計算にはならないと言う事を理解していただきたいのです

補足

返信していただきありがとうございます。
補足も付け加えてくださりありがとうございます。とても丁寧でわかりやすいです。
一つ前の私が送信しました補足内容の通り、私の疑問に思っていたところでしたので、その部分を解決していきたいです。

一番最初のご返答から自分なりに考えたことなのですが。

❶ばねを手(だけ)でxまで伸ばした時
❷ばねに取り付けた小球を手でxまで伸ばした時
この違いを考えていました。

【❶ ばねを手(だけ)でxまで伸ばした時の場合】
手に働く力
•弾性力:F(ばね→手)

ばねに働く力
•弾性力とつり合う力:F外(手→ばね)
⇒(以下、弾性力外:F外 と表記します。)

弾性力による位置エネルギー
=弾性力外が基準点→xまでする仕事
=∫(0→x)F外 dx
=1/2kx²
=ばねがされた仕事
(=手がする仕事)

弾性力があるなら❶の時にも、もちろん「弾性力による位置エネルギー」が発生するはずと思い❶と❷を考えておりました。
この時「ばねがされた仕事」として、ばねに蓄えられるエネルギーとして考えなければならないのかな、と思っておりました。

❷も同様に考えると、
【❷ばねに取り付けた小球を手でxまで伸ばした時】
手に働く力
•f(小球→手)

ばねに働く力
•弾性力とつり合う力:F外(小球→ばね)

小球に働く力
•弾性力:F(ばね→小球)
•f'(手→小球)
↑ 「f'= 弾性力とつり合う力:F外」とも、みなせてしまうのでしょうか。私はこのf'を弾性力外:F外として、小球に働く力f'で 弾性力による位置エネルギーを考えていました。弾性力に逆らうように手が小球に力を加えて、小球を動かすので...
そこでおかしくなったんだと思います。
返信してくださった、『ばねの弾性力(復元力)による位置エネルギー』を
『①小球に蓄えられたエネルギー と言う解釈』
『②変形したばねに蓄えられたエネルギー と言う解釈』の2通りとはこういうことですよね。

ゆっくり動かすので、小球に働く合力は0でつり合っており、
小球のつり合いの式より、F=f'
作用反作用より、F=F外 , f=f'
なので、F=F外=f=f' (全て力の大きさ)

弾性力による位置エネルギー
=弾性力外が基準点→xまでする仕事
=∫(0→x)F外(小球→ばね)dx
(=∫(0→x)f'(手→小球)dx)
=1/2kx²
=ばねがされた仕事①(=小球がする仕事)
=小球がされた仕事②(=手がする仕事)
より、
上記は
ばねがされた仕事⇒①小球に蓄えられたエネルギー
小球がされた仕事⇒②ばねに蓄えられたエネルギー
という解釈が生まれてしまうということでよろしいでしょうか。

画像の問題の「膜」自体が「ばね」となっているということですよね。
私は「膜」を『ばねつきのピストン』の「ピストン」と同じようにみなしていました。そのため、2通りの解釈がうまれてしまう考えになってしまったのだと思います。

回答No.2

maskoto

貴方の
確認してくださいと言う文は　
前半については
概ねただしいと思いました
(後半は以下の解説で疑問が晴れるかも…)

バネの例の場合
1系で考えても2系で考えても話しの内容は余りかわらないと思われますので
系については余り意識せず
したがって、内力とか外力とか言う言葉にも余り囚われずに読んでください

それよりも、大きなポイントは
バネの復元力による位置エネルギーの正体は
小球に(位置エネルギーとして)蓄えられたエネルギー
と言う解釈と
変形したバネ自身に蓄えられたエネルギー
と言う解釈の二通りがあると言うことです
おそらく、どちらも間違いではないはずです
しかし、仕事と弾性エネルギーの関係を考えるなら
後者の解釈を採用するのがベターです
(ご質問の膜の問題を考えるときも、同様に後者の理解が良い)
前者ですと、バネを伸ばすとき
小球はFとF外の2力を受け
その合力は0
したがって小球は仕事をされない
小球のエネルギーは変化しない
じゃ、弾性力によるエネルギーは蓄えられない
と言う結論に突き当たるのです
でも、これは誤り
後者の考え形では、Δx伸ばされたバネが自然長に戻るとき、バネは球にFΔxの仕事をしますから、バネ自身に蓄えられていた弾性エネルギーがFΔxだけ放出され0となり、これを受け取った球の運動エネルギーは0からFΔxになる
と解釈できます。
要点は、バネの復元力がする仕事の源は
変形したバネ自身が持つエネルギー
だと言う事です
だから、反対に
F外が球を引っ張る
＝球がF外と同じ力でバネを引っ張る
とき、F外の仕事はバネの変形に使われ、バネ自身に蓄えられる
と言う解釈になり、F外の仕事は弾性力による位置エネルギーになる
と言うことです

まだ疑問が晴れなければ、コメントをください

補足

返答していただきありがとうございます。
さらに、先程の長文を読んでいただきありがとうございます。私が書きたいことを勢いで詰め合わせた長文が伝わっていてほっとしました。
今回のご返答まで自分なりに考えており、私が疑問に思っていたことを返信してくださって驚きました。本当にありがとうございます。
補足で送ってくださった方の投稿でまた確認させていただいてもよろしいでしょうか。

回答No.1

maskoto

まずバネの場合
水平面に置かれたバネに小球が繋がっているとする
小球を水平方向に静かに引っ張り、バネを自然長から微小な長さΔxだけ伸ばすとき
バネが縮もうとする力Fは一定とみなす
これに逆らうのだから、引っ張る力は復元力と逆向きに大きさFである
ゆえに、
引っ張る力がする仕事＝FΔx
となり、これは弾性力による位置エネルギー
1/2k(Δx)²として、変形したバネ自身に蓄えられる
→バネに蓄えられるエネルギー
＝バネを引っ張る力からされる仕事

バネに蓄えられるエネルギー(ばねがされる仕事)を考えるとき
見ての通り(基本的には)バネの復元力は考えていない

画像の問でも同じこと
容器外部がわずかに減圧すると
容器内部との圧力差がΔPが生じる
すると、外部気体が容器を押す力と
内部気体が容器を押す力の合力は
容器の表面積×△P(外向き)
となるから、膨張前の容器表面はこの力によって
Δrだけ容器の中心から遠ざかる
したがって、バネを伸ばすときと同様に考えて
膜がされる仕事
＝合力×膜の移動距離
となる
このことから、今回のケースでは
合力と移動の向きが同じなので
膜のされる仕事は正の値となる
ただ、この式で仕事を求めることは
不明な物理量があるので不可能だと思われます(ざっくりとしか目を通していないので、断定はできませんが…)

そこで、問題文に与えられた
膜を広げるのに必要な仕事＝σΔS
(＝膜がされた仕事)
を利用する
ΔS＝膨張後の表面積-膨張前の表面積
＝4π(r+Δr)²-4πr²…①であり
ここで、問題文に与えられ近似を利用すると
4π(r+Δr)²＝4πr²(1+Δr/r)²≒4πr²(1+2Δr/r)
だから
①の続き＝8πrΔrとなり
よって
仕事＝8πσrΔrを得ます

補足

早急に返答していただきありがとうございます。
例をつけて、丁寧に説明していただき本当に嬉しいです。
まだ質問したいことや確認させていただきたいことがあるのですが、よろしいでしょうか。順番に解決していきたいのですが..

位置エネルギーは「保存力[F]とつり合う力[F外]が(逆らって)基準点からその位置までする仕事」ですよね。
なので書いてくださった【例】で考えると、

弾性力Fとつり合う力[F外]
とすると、
[F外]がx伸ばすのにする仕事
=∫(0→x)F外 dx
=1/2x²
=弾性力による位置エネルギー
=ばねがされた仕事

ということですね。
私もこのように考えたつもりだったのですが、きちんと理解できていませんでした。私はおそらくエネルギー保存則の考えからおかしくなっていると思います。

別の質問になってしまうのですが、よろしいでしょうか。おそらくここから間違っていると思うので..
エネルギー保存則を考える時、『系』を考え、何を外力とみなすのか重要になると思うのですが、そこで勘違いしているところがあると思うので、確認•訂正していただけると嬉しいです。

まず【例】の設定でエネルギー保存則を考えた時、『①「ばねと小球」の物体系』と『②「小球」のみの物体系』と2つの系で考えることができますよね。
『①系』だと 弾性力による位置エネルギー
『②系』だと 弾性力を外力としている
ということであっていますでしょうか。

基準点(自然長)→位置x(伸びた位置)とした時、
『「①ばねと小球」の物体系』の場合
基準点
小球の運動エネルギー:0
小球の(重力による)位置エネルギー:0
弾性力による位置エネルギー:0

位置x
小球の運動エネルギー:0
小球の(重力による)位置エネルギー:0
弾性力による位置エネルギー:1/2kx²

小球がされた仕事W外
=弾性力につり合う力[F外]がする仕事W外

エネルギー保存則より、そのまま立式すると
0+0+0+W外=0+0+1/2kx²

となりますが、合っていますでしょうか。(運動エネルギーと(重力による)位置エネルギーも書いているので見づらくしてしまいすみません。)

おそらく私は

小球に働く力
•弾性力[F]
•(逆らって動かすため)弾性力につり合う力[F外]

小球がされた仕事W外
=小球に働く力による仕事W外
=弾性力Fがする仕事+弾性力とつり合う外力F(外)がする仕事
=0

として、小球に「働く」のみに注目して『①系』では外力扱いではない弾性力のする仕事も余分に入れているってことですよね。これは『①系』では弾性力による位置エネルギーに入っているということですよね。
『①系』だと弾性力は内力扱いだということでしょうか。ですが、内力ですが弾性力による位置エネルギーは存在するのでしょうか。

長文と大量の質問失礼します。