この式の式展開を教えてください！

質問

(a^x - 1)/x =a^xln a

左から右になる過程の式を教えてください！

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

もちろん「なりません」.
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関数 f(x)=a^x, (aは１でない正数) であるとき、
dy/dx = lim[h→0]a^x*【{a^h - 1}/h】= a^x * ln(a).
ということです。

回答No.2

soyandbeefmilk

指数関数y=a^xの微分(導関数)式の微分の定義に従った導出過程を前者さんは書いてます。ネイピア数の定義に基づき導出されます。数Ⅲの教科書に載ってるはずです。
y’=(e^x)’=e^x　については微分の定義に従いそしてネイピア数の定義極限値をそのまま使うことで導関数はこうなります。
y’=(a^x)’=ln(a)*a^x　なんですが a=e^ln(a)なのでaに代入し、i=h*ln(a)とおいてh=i/ln(a)に変換します。前者さんの式に代入して下さい。h→0でi→0であり、lim[i→0]{(e^i-1)/i}=1　は、やはりネイピア数eの定義極限値です。e^i-e^0=e^i-1　です。