複素数平面と極形式 199

質問

複素数α、βが|α|=|β|=|α-β|=2を満たしているとき、次の式の値を求めよ。
(ⅰ)|α+β|
(ⅱ)α^3/β^3
(ⅲ)|α^2+β^2|

この問題を解いてください。
お願いします。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

O(0) , A(α) , B(β) とすると
| α | = 2 , | β | = 2 , | α - β | = 2 より
OA = 2 , OB = 2 , AB = 2
よって三角形OABは一辺の長さが2の正三角形である。

(i)
γ = α + β が表す点を C (γ) とおく。
四角形OACBは一辺の長さが2のひし形（正三角形を2個つなげた形）であり、
| γ | = OC = 2√3 …答

(ii)
OABが正三角形であることから
(α / β) = cos(±π/3) + i sin(±π/3) (複号同順)
となるので
α^3 / β^3 = (α/β)^3 = -1 …答

(iii)
P (α^2) , Q (β^2) とおくと
OP = OQ = 4
∠POQ = 2π/3
である。
R (α^2 + β^2) とすると、四角形OPRQは一辺の長さが4のひし形（正三角形を2つつないだ形）となり
| α^2 + β^2 | = OR = 4 …答

お礼

詳しくありがとうございました。

回答No.1

tmppassenger

詳しくは自分で解いてください。α, βとタイプするのが面倒なので、a, bと書きます。zの複素共役をc(z)と書きます。

a≠0なので、z = b/aでzを導入すると、|z| = |b|/|a| = 1。よって、z*c(z) = 1。
又|b-a| = 2から、|z-1| = 1。よって(z-1)(c(z)-1) = 1。これとz*c(z) = 1 から z+c(z) = 1が得られる。
従って根と係数の関係から、zとc(z)は t^2 - t + 1 = 0の2根となる。特にz^2 - z + 1 = 0。よって(z^2 - z + 1) (z+1) = 0であるからz^3 = -1。

(1) |a+b| = |a| |z+1|。|z+1|については|z+1|^2 = (z+1)(c(z)+1) = |z|^2 + (z+c(z)) + 1から求まる。
(2) a^3 / b^3 = 1/(z^3)
(3) |a^2 + b^2| = |a^2| (1+z^2) = |a^2| |z|

お礼

簡素に書いてくださりありがとうございました。

詳しく書いてくれると助かります。