微分：極大極小の例題

質問

こんにちは。
新初等数学講座という古い本に載っている、微分の例題です。
問題を全部写させてもらいましたが、下の(a)の式から、どのようにしたら
(b)の式になるのかどうしても分かりません。
すみませんが、どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。

問＞
ｘ軸の上部における光線の速度はｕ、下部における速度はｖであるとき、
上部における１点から下部における１点に至る路の中で時間の最小なる
ものを求めよ。

解＞
２点をA(0,a)、B(c,b)、光線がｘ軸を過ぎる点をP(x,0)とする。
　AP=√(a^2+x^2)
　BP=√(b^2+(c-x)^2)
全時間ｔは
　t = AP/u + BP/v = √(a^2+x^2)/u + √(b^2+(c-x)^2)/v　・・・(a)
これをｘについて微分すると
　dt/dx = x/(u√(a^2+x^2)) - (c-x)/(v√(b^2+(c-x)^2))　・・・(b)
　dt/dx=0から
　x/(u√(a^2+x^2)) = (c-x)/(v√(b^2+(c-x)^2))
点Pにおいて垂線 DPE をたてて
　∠APD = θ
　∠BPE = θ'
とおけば、この式を満足するxをx0とすると
　x/√(a^2+x^2) = sinθ　・・・(1)
　(c-x)/(v√(b^2+(c-x)^2)) = sinθ'　・・・(2)
であるからｘの増加につれて、θは増加しθ'は減少するから
(1)は増加、(2)は減少する。故に x < x0 では dt/dx は負であり、
x > x0 では正である。故に x=x0 はｔの極小であり、しかも唯一の
極小であって、従って最小である。
x=x0 では sinθ/u = sinθ'/v であって、sinθ/sinθ'=u/v が成立する。
（Snellの屈折法則）

回答No.1

mame594 · ベストアンサー

d√x/dx=1/(2√x)　です．
xのところが関数になっていれば，合成関数の微分で，
d√f(x)/dx=f’(x)/(2√f(x))　となるからです．

f(x)=a^2+x^2　であれば，f’(x)=2xですし，
f(x)=b^2+(c-x)^2であれば，f’(x)=-2(c-x)　です．

お礼

早速有り難うございました。
１人で勉強していて、すっかり行き詰まっていました。
d√x/dx=1/(2√x) というのがあるのですね。
これでやっと分かりました。
この公式がどうしてこうなのか、がよく分からないの
ですが、これから調べてみたいと思います。

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

普通にxで微分しているだけです。

(√x)' = 1/(2√x) と
合成関数の微分　dt/dx = (dt/dy)・(dy/dx)　を使っています。